Fundamentos categóricos sin teoría de conjuntos

Question

¿Puede haber una fundamentación de las matemáticas que utilice únicamente la teoría de categorías, es decir, ninguna teoría de conjuntos? Más precisamente, la definición de una categoría es una clase/conjunto de objetos y una clase/conjunto de flechas, que satisfacen algunos axiomas que hacen posibles los diagramas conmutativos. Así que, aunque en la pregunta 7627, en la que psihodelia pedía fundamentos alternativos para las matemáticas sin teoría de conjuntos, allí Steven Gubkin dijo que Lawvere y McCarthy hicieron algún trabajo en la reformulación de los axiomas de la teoría de conjuntos ZFC como los axiomas de los topoi elementales, esta manera de fundamentar sigue sin ser completa, ¡ya que una categoría sigue siendo en última instancia un conjunto!

J Williams, en su respuesta a continuación, señaló que a través de las metacategorías, podemos tener una axiomatización de primer orden de las categorías. Sin embargo, esto no proporciona un fundamento de las matemáticas utilizando sólo la teoría de las categorías, ya que la teoría de conjuntos impregna la formulación de la lógica de primer orden. En la lógica de primer orden, las estructuras son conjuntos junto con constantes, funciones y relaciones. Aquí las constantes, las funciones y las relaciones son también conjuntos. Por tanto, aunque digamos que las categorías son axiomatizables en primer orden, al final, las categorías siguen definiéndose en términos de conjuntos.

Admito que quiero fundamentos totalmente en términos de categorías, entonces habrá algún tipo de recursividad. Sin embargo, esta recursividad no debería verse como un problema ya que, como se ha descrito anteriormente, las axiomatizaciones de primer orden de los conjuntos, como ZFC, están escritas en el lenguaje de la lógica de primer orden que (al menos en un metanivel) son los propios conjuntos. De hecho, esta recursividad es una característica de la lógica simbólica y es parcialmente responsable del éxito de que un único concepto primitivo de conjunto/membresía de conjunto pueda describir tanto (¿o todo?) de las matemáticas.

Soy consciente también de que en ciertas pruebas de equivalencia de categorías en la matemática convencional, como los teoremas GAGA de Serre, es necesario utilizar categorías en las que los objetos son de clases de diferentes niveles, como la teoría de conjuntos NBG. Al final, las razones proporcionadas por las que el argumento de usar clases puede ser empujado hacia abajo a la categoría esencialmente pequeña, esto al final invoca la teoría de conjuntos NBG.

Answer 1

Sobre el tema de los fundamentos categóricos frente a los teóricos de conjuntos hay hay demasiadas discusiones complicadas sobre la estructura que pierden el punto esencial sobre si las "colecciones" son necesarias.

No importa exactamente cuál sea su lista personal de matemáticas requisitos puede ser -- anillos, la categoría de ellos, fibraciones 2-categorías o lo que sea -- desarrollar el sistema fundacional apropiado sistema fundacional apropiado para ello es sólo una cuestión de "programación", una vez que entiendas el entorno general.

La cuestión crucial es si te dejas llevar por la Gran Teoría de Conjuntos Estafa de que las matemáticas dependen de colecciones (infinitos completos). (Lamento que sea necesario utilizar un lenguaje fuerte aquí para señalar el hecho de que rechazo una opinión muy extendida pero errónea).

La teoría de conjuntos como supuesto fundamento de las matemáticas no tiene ni puede tener convertir las colecciones en objetos. Sólo axiomatiza algunas de las intuiciones sobre cómo nos gustaría manejar las colecciones, basándose en la relación llamada "habita" (por ejemplo, "Pablo habita en Londres", "3 habita en N"). Esta relación binaria, escrita $\epsilon$ se formaliza utilizando el primer orden cálculo de predicados, normalmente con una sola clase, el universo de conjuntos. Los axiomas conocidos de (cualquier) teoría de conjuntos son fórmulas de primer orden junto con $\epsilon$ .

(Hay formas mejores y más modernas de captar las intuiciones sobre colecciones, basadas en toda la experiencia del siglo XX en álgebra y otras materias, por ejemplo utilizando pretopos y universos aritméticos, pero serían una distracción técnica de la cuestión fundamental).

La "Teoría elemental de la categoría de conjuntos" de Lawvere axiomatiza algunas de las intuiciones sobre la categoría de conjuntos, utilizando la misma metodología. Ahora hay dos clases (los miembros de una se llaman "objetos" o "conjuntos" y de la otra "morfismos" o "funciones"). Los axiomas de una categoría o de un topos elemental son fórmulas de cálculo de predicados de primer orden junto con el dominio, el codominio, la identidad y la composición.

Los teóricos de conjuntos afirman que este uso de la teoría de categorías para los fundamentos depende de un uso previo de la teoría de conjuntos, basándose en que hay que empezar con "la colección de objetos" y "la colección de morfismos". Curiosamente, piensan que su propio enfoque es inmune a la misma crítica.

Me gustaría dejar claro que NO comparto esta opinión de Lawvere.

Antes de 1870 los infinitos completos se consideraban un sinsentido.

Cuando aprendiste aritmética en la escuela primaria, aprendiste algunas reglas que decían que, cuando tenías ciertos símbolos en la página frente a ti, como "5+7", podías añadir otros símbolos, en este caso "=12". Si seguías las reglas correctamente, el profesor te daba una estrella de oro, pero si las rompías te reñía.

Tal vez hayas aprendido otro conjunto de reglas sobre cómo puedes añadir líneas y círculos a una figura geométrica ("geometría euclidiana"). U otra que implica la "integración por partes". Y así sucesivamente. NUNCA ha habido un "completado infinito".

Mientras que la corriente principal de las matemáticas puras se dejó seducir por los infinitos completados en la teoría de conjuntos, la lógica simbólica continuó y formulando sistemas de reglas que permiten hacer ciertas adiciones a las matrices de caracteres escritas en una página. Hay muchos sistemas diferentes - el punto de mi párrafo inicial es que usted puede diseñar su propio sistema para satisfacer sus propios requisitos matemáticos -- pero se ha logrado un cierto grado de uniformidad en la forma en que se presentan. se presentan.

• Necesitamos un suministro inagotable de VARIABLES que podamos sustituir.

• Existen SÍMBOLOS DE FUNCIÓN que forman términos a partir de variables y otros términos.

• Existen TIPOS BASE como 0 y N, y CONSTRUCTORES para formar nuevos tipos, como $\times$ , $+$ , $/$ , $\to$ , ....

• Hay VALORES DE VERDAD ( $\bot$ y $\top$ ), SÍMBOLOS DE RELACIÓN ( $=$ ) y CONECTIVAS y CUANTIFICADORES para formar nuevos predicados.

• Cada variable tiene un tipo, la formación de términos y predicados debe respetar ciertas reglas de tipificación, y cada formación, igualdad o afirmación de un predicado se hace en el CONTEXTO de ciertas asignaciones de tipo y suposiciones.

• Hay reglas para afirmar ecuaciones, predicados, etc.

Podemos, por ejemplo, formular la TEORÍA DEL TIPO ZERMELO en este estilo. Tiene constructores de tipos llamados powerset y {x:X|p(x)} y un símbolo de relación llamado $\epsilon$ . Obviamente no voy a escribir todos los detalles aquí, pero no es difícil hacer que esto concuerde con lo que los matemáticos ordinarios llaman "teoría de conjuntos" y es adecuado para la mayoría de sus requisitos

Alternativamente, se puede formular la teoría de un topos elemental así estilo, o cualquier otra estructura categórica que se requiera. Entonces un "anillo" es un tipo junto con algunos morfismos para los que ciertas ecuaciones son demostrables.

Si quieres hablar de "la categoría de conjuntos" o "la categoría de anillos" DENTRO de su teoría tpe, entonces esto se puede hacer añadiendo tipos conocidos como "universos", términos que dan nombre a los objetos de la categoría interna de conjuntos y un tipo dependiente que proporciona una forma de externalizar los conjuntos internos.

Así, aunque la metodología es la que practican los teóricos del tipo puede utilizarse igualmente para la teoría de las categorías y para los fines tradicionales de la matemática pura. (De hecho, es mejor formalizar una teoría de tipos como mi "teoría de tipos de Zermelo" y luego utilizar una construcción uniforme para convertirla en una categoría como un topos. Esto es más fácil porque el asociatividad de la composición es difícil de manejar en un entorno recursivo. Sin embargo, esto es una nota técnica a pie de página).

Muchas de estas ideas se recogen en mi libro "Practical Foundations of Mathematics" (CUP 1999), http://www.PaulTaylor.EU/Practical-Foundations Desde que escribí el libro, he redactado las cosas de forma más teórica. que en estilo categórico, pero son equivalentes. Mi programa llamado "Dualidad de piedras abstractas", http://www.PaulTaylor.EU/ASD es un ejemplo de la metodología anterior, pero mucho más radical que el contexto de esta pregunta en su rechazo a la teoría de conjuntos, es decir, veo que los topos son igual de malos.

Answer 2

Dado que Tom Leinster cuestiona mi referencia a real/completado frente a infinitos potenciales/incompletos Tal vez deberíamos preguntar a un filósofo si estoy usando estos términos de la manera estándar.

En cualquier caso, no estoy haciendo metafísica. Sólo estoy describiendo la forma en que que me parece que los matemáticos en realidad trabajo, en contraste con la forma en que diga funcionan porque tienen sido entrenados para decir esas cosas. Cuando comparen mis observaciones con las de los demás en esta página, por favor, tenga en cuenta que se basan en el pensamiento de estas cosas para durante 25 años, originalmente desde una perspectiva categórica pero cada vez más influenciado por la lógica simbólica, y no en recitar trozos de libros de texto.

Para hacer aritmética ordinaria, puedes necesitar muy (arbitrariamente) grande números, pero no todo de ellos juntos. Por lo que puedo deducir de la historia, los matemáticos hasta mediados del siglo XIX se las arreglaron muy bien para tratar las cosas de esta manera, por ejemplo definiendo funciones como expresiones .

Después de Cantor, los matemáticos del siglo XX adquirieron el hábito de introducir el infinito completo antes de la estructura. Por ejemplo, decimos "un grupo es un conjunto con relegando el esencia de simetría al segundo lugar. Esto es como decir que la humanidad es un conjunto de trozos de carne, sobre los que se pintan rostros a posteriori.

Los categóricos, al formar parte de la cultura matemática pura, hicieron lo mismo, en la gran mayoría de los casos con gran provecho. Sin embargo, cuando se trata de fundamentos, tratar el universo primero como un infinito completo (y sólo después conteniendo productos, espacios-función, conjuntos de potencias o cualquier otra estructura que se requiera) conduce inevitablemente a la trampa de la teoría de conjuntos.

En cambio, los métodos de teoría de tipos construyen el universo por medio de las operaciones reales que realmente se quieren considerar, al igual que el grupo de simetría del cubo de Rubik se construye a partir de rotaciones individuales. Además, a pesar de que la teoría de tipos mira completamente diferente de la teoría de las categorías o álgebra, es un apuntalamiento preciso de los métodos reales de razonamiento de las matemáticas. Véase, por ejemplo, mi discusión de la expresión "existe" en mi libro .

Esto no es un finitismo o un logicismo dogmático y es fácilmente adaptable a la consideración del objeto $\bf N$ junto con los individuos números naturales, una categoría interna $\bf Set$ junto con tipos individuales, etc.

Ahora permítanme considerar los otros enfoques de esta cuestión.

Lógica de primer orden . Esta fue la primera técnica general utilizable en la lógica matemática. Al igual que otras disciplinas, comienza con el infinito completo y le añade propiedades. ¿Supone una teoría de conjuntos? Bueno, sí, en el mismo sentido que un gestor de arranque presupone un sistema operativo primitivo. Estaría más convencido de que la lógica de primer orden es independiente de la teoría de conjuntos si hubiera una rama de la teoría de modelos que tuviera ejemplos de estructuras cuyos portadores fueran espacios topológicos o variedades algebraicas.

De hecho, la lógica de primer orden puede establecerse en la teoría de tipos que he descrito anteriormente. Pero si vas a hacer eso, también puedes establecer la teoría de tipos que realmente quieres usar.

Si buscamos un metalenguaje específico para categórico lógica (digamos, en la que construir topos) entonces la lógica de primer orden no es no es la estructura adecuada. Es fácil describir una categoría interna categoría interna en una categoría con todos los finitos, y, añadiendo más diagramas, podemos hablar también de topos internos. Sin embargo, es mucho más interesante considerar gratis estructuras internas, para lo cual necesitamos un universo aritmético , aunque desgraciadamente la bibliografía sobre este tema es casi nula.

Fibraciones, 2-categorías, etc. . Nada de lo que he dicho contradice el uso de estas técnicas categóricas. Personalmente considero que las fibraciones, y especialmente las hiperdoctrinas, son ofuscación, pero otras personas las encuentran útiles. Sin embargo organizar el mundo, pero no lo hacen hacerla realidad , que era la idea central de la pregunta original.

Answer 3

Sí, se puede hacer teoría de categorías sin teoría de conjuntos. Una categoría puede expresarse fácilmente en lógica de primer orden, como las metacategorías del libro de MacLane. Sin embargo, hay muchos conceptos en la teoría de categorías que requieren nociones de colecciones pequeñas frente a grandes. Hay una manera de razonar con estos enteramente en la teoría de categorías, y para esto se necesitan fibraciones (categóricas), o categorías indexadas similares.

Se necesita una categoría base, digamos B, que actuará como una categoría de conjuntos. Probablemente necesites que satisfaga ciertas propiedades, como pullbacks/cartesianos-cerrados/topos... dependiendo de lo que quieras hacer. Una fibración es un functor $p:C \to B$ que satisface ciertas propiedades. Los objetos de C son como colecciones de objetos que se indexan sobre objetos de B.

El ejemplo estándar es p:Fam(Set) $\to$ Set, donde Fam(Set) son familias de conjuntos $\lbrace S_i\rbrace_{i\in \Lambda}$ , donde $p$ envía a esta familia a $\Lambda$ .

Las categorías pequeñas sobre la categoría base son fáciles de manejar usando la teoría de la categoría interna, si su categoría base tiene pullbacks. Estos son sólo pares de objetos (Obj, Mor) en B junto con varios morfismos como head:Mor $\to$ Objeto que expresa las propiedades categóricas.

Ahora, para las categorías grandes se necesita el concepto de categorías localmente pequeñas sobre la base. Para ello podemos utilizar categorías localmente internas, que son fibrados especiales que también están enriquecidos en B. En ellos se puede hablar de colecciones de morfismos, indexados por objetos en B. Conceptos como completo y cocompleto pueden ser definidos para categorías localmente internas.

Con toda esta maquinaria se puede demostrar el teorema del functor adjunto indexado y varios otros teoremas de la teoría de categorías.

Una vez que se tiene un axioma que establece que se tiene una categoría base suficientemente agradable, se pueden hacer grandes partes de la teoría de categorías sin mencionar los conjuntos. Con NBG se puede utilizar la categoría de conjuntos en lugar de un axioma.

Para un artículo sobre las fibraciones, véase "Fibered Categories and the Foundations of Naive Category Theory" de Bénabou. El libro de Johnstone "Sketches of an Elephant" vol1 tiene algunos capítulos sobre categorías localmente internas.

Answer 4

Usted escribe:

"La teoría de conjuntos impregna la formulación de la lógica de primer orden. En la lógica de primer orden, las estructuras son conjuntos junto con las constantes"

No; la lógica de primer orden no supone ninguna teoría de conjuntos. La noción de estructura proviene de teoría de los modelos que se basa en la lógica de primer orden y en la teoría de conjuntos.

Por ejemplo, se puede describir la sintaxis y las reglas de deducción del cálculo de predicados utilizando medios completamente finitos (nada más que la aritmética de Peano). Así que se podría decir que la AP es (o algo parecido) un fundamento previo para la lógica de primer orden, ¡pero la teoría de conjuntos ciertamente no lo es!

Este hilo en la lista FOM da una idea de cómo se podría crear una axiomatización puramente de primer orden de la categoría de categorías:

http://cs.nyu.edu/pipermail/fom/2000-May/003968.html

La cuestión difícil es qué tipo de axiomas se asumen sobre la "categoría de todas las categorías", por ejemplo, ¿contiene una copia isomorfa de cada categoría (incluida ella misma)? La salida probablemente implique debilitar esta suposición; por ejemplo, no dar una forma de hablar explícitamente de la acción que traduce un objeto de la categoría C en el functor de la categoría de un objeto a C que escoge ese objeto -- renunciar a la capacidad de hablar de esta acción (o quizás sólo renunciar a la suposición de que es total) podría debilitar la teoría lo suficiente...

Answer 5

Te puede interesar este artículo que compara la Teoría de Conjuntos, la Teoría de Tipos y la Teoría de Categorías para la fundamentación de las matemáticas : http://www.andrew.cmu.edu/user/awodey/preprints/stcsFinal.pdf