Dada una variedad (o esquema, o pila, o presheaf en la categoría de anillos), a algunos geómetras, entre los que me incluyo, les gusta estudiar los módulos D. La definición habitual de un módulo D es la de gavilla de módulos sobre una gavilla de operadores diferenciales, pero para los espacios que no son suaves en algún sentido, esta definición no funciona tan bien, y se quiere utilizar una definición diferente. Mi pregunta general es cómo reinterpretar la microlocalización en esta definición alternativa.
espacios deRham
Esta definición consiste en que un módulo D sobre $X$ es una gavilla cuasi-coherente en un nuevo espacio $X_{dR}$ El espacio deRham de $X$ . Lo más fácil es definirlo en términos de su functor de puntos: un mapa de Spec R a $X_{dR}$ es por definición un mapa de Spec $R/J_R$ a $X$ donde $J_R$ es el radical nilpotente de $R$ . Así que esto no es un espacio topológico, pero es una gavilla en el gran sitio de Zariski, y puedo dar sentido a una gavilla cuasi-0-coherente en uno de ellos. Para más detalles, puedes ver el notas de Jacob Lurie en estos.
De manera más informal $X_{dR}$ es $X$ "con todos los puntos infinitesimales identificados". Una gavilla en este espacio es como un módulo D en el sentido de que un módulo D es una gavilla con una conexión, es decir, donde las fibras de los puntos infinitesimalmente cercanos están identificadas. Notarás que aquí digo "espacio", ya que quiero ser vago sobre lo que es este objeto. Es muy difícil que sea un esquema, pero creo que es un ( EDITAR: no es realmente algebraico!) pila.
microlocalización
Ahora bien, una de las cosas bonitas de los módulos D es que tienen una vida secreta en el haz cotangente de X. Podríamos pensar que un módulo D es una gavilla sobre X, pero esto no es todo: también hay una versión microlocal de las cosas.
La gavilla de funciones sobre $T^*X$ tiene una cuantificación $\mathcal{O}^h$ ; se trata de un álgebra no conmutativa sobre $\mathbb{C}[[h]]$ tal que $\mathcal{O}^h/h\mathcal{O}^h\cong \mathcal{O}_{T^*X}$ definida mediante Cuantificación Moyal .
Hay un mapa de anillos $p^{-1}\mathcal{D}\to \mathcal{O}^h[h^{-1}]$ y, por lo tanto, un functor de los módulos D a las láminas de $\mathcal{O}^h[h^{-1}]$ -módulos en $T^*X$ dado por $\mathcal{O}^h[h^{-1}]\otimes_{p^{-1}\mathcal{D}}\mathcal{M}$ La nueva función se llama microlocalización, porque hace que los módulos D sean aún más locales de lo que eran antes. Se trata de una equivalencia entre los módulos D y $\mathbb{C}^*$ -equivariante $\mathcal{O}^h[h^{-1}]$ -módulos.
Dado un $\mathbb{C}^*$ subconjunto abierto invariable $U$ de $T^*X$ se puede mirar $\mathcal{O}^h[h^{-1}]$ -módulos en $U$ y obtener un categoría microlocalizada de módulos D que tiene todo tipo de geometría interesante que uno no podía ver antes. Estoy particularmente interesado en los puntos semi-estables para la acción de algún grupo $G$ en $X$ (ampliado a $T^*X$ ).
mi pregunta:
Ahora bien, soy una especie de converso a la geometría algebraica derivada, así que me parece intuitivo que cualquier cosa que uno tenga que decir sobre los módulos D debería poder decirse utilizando los espacios deRham. Por otro lado, no tengo ni idea de cómo se puede formular la microlocalización de esta manera. ¿Alguno de ustedes en MathOverflowLand?
