Ceros de una secuencia relacionados con las raíces de la unidad

Question

Considere la secuencia

$$ a(n) = \prod_{u^n=1,u \neq 1}( (1+u)^n+1) $$

Algunos términos son: $$ 1,1,0,9,121,2704,118336, 4092529,0,97734390625, \ldots $$

pregunta Alonso del Arte:

Pregunta: ¿Cuáles son los múltiplos de $3$ tal que

$$ a(3k) =0 $$

He intentado alguna factorización de polinomios ciclotómicos sin éxito. Puede ser cierto para todos los impar $k$ ???

EDIT: Otra propiedad simple de la secuencia es

(espero que esto pueda complacer al votante negativo (???))

$$ a(p) \equiv 1 \pmod{p} $$

para cualquier primo $p>3$

desde

$$ a(n) (2^n+1) $$ es el determinante de una matriz circulante con primera línea $$ 3,\binom{n}{1}, \ldots,\binom{n-1}{n} $$

Answer 1

Supongamos que $n=3m$ , donde $m$ es impar, y $u=e^{2\pi i/3}$ . Entonces $$ (1+u)^n+1 = ((1+u)^3)^m+1 = (-1)^m+1=0, $$ así que $a(n)=0$ .

Answer 2

El número complejo $a(n)$ es la resultante de los polinomios $P=(X^n-1)/(X-1)$ y $Q=(X+1)^n+1$ ; de manera similar, $(2^n+1)a(n)$ es la resultante de $X^n-1$ y $(X+1)^n+1$ . Como estos polinomios tienen coeficientes enteros, su resultante es un entero racional.

La resultante de dos polinomios desaparece cuando tienen una raíz común. Así que $a(n)=0$ si y sólo si existe un $n$ raíz de la unidad $u$ tal que $(u+1)^n+1=0$ . Esto implica que $u$ y $u+1$ son ambas raíces de la unidad, en particular pertenecen al círculo unitario, por lo que necesariamente $u=e^{2\pi i/3}$ o $u=e^{-2\pi i/3}$ , y $u+1=e^{\pm i\pi/3}$ . Si $u$ es un $n$ raíz de la unidad, se obtiene $3|n$ ; si $(u+1)^n=-1$ se obtiene que $n/3$ es impar. Por el contrario, si $n=3m$ con $m$ impar, $u=e^{2\pi i/3}$ satisface $u^n=1$ , $u\neq 1$ y $(u+1)^n=-1$ Por lo tanto $a(n)=0$ .

Dado que los dos polinomios $P$ y $Q$ anteriores son mónicas, su resultante desaparece mod $p$ si y sólo si tienen una raíz común cuando se consideran como polinomios modulo $p$ . Si $n=p$ es primo, entonces $X^n-1=(X-1)^p$ Así que $1$ es la única raíz de $P$ , con multiplicidad $p-1$ se deduce que $$ a(n)\equiv ((1+1)^p+1)^{p-1}\equiv (2^p+1)^{p-1}\equiv 3^{p-1} \pmod p.$$ Si, además, $p\neq 3$ entonces $a(n)\equiv 1\pmod p$ .