¿Cuáles son los factores de este cociente dados por el Pequeño Teorema de Fermat?

Question

$\forall a,b \in \mathbb{Z}, p\in \mathbb{P}$ , dejemos que $$F_p(a,b) = \frac{(a+b)^p-a^p-b^p}{p}$$

Nota:

• $F_3 = ab(a+b)$
• $F_5 = ab(a+b)(a^2+ab+b^2)$
• $F_7 = ab(a+b)(a^2+ab+b^2)^2$

Según los datos de Matlab para $p < 31$ Tengo las siguientes conjeturas:

• $\forall p>3, F_3|F_p$
• $\forall p>5, F_5|F_p$
• $\forall p>7, F_7|F_p$ si $p\equiv 1\pmod{6}$
• $\forall p>7, F_p$ será un polinomio irreducible por $ F_5\text{ or }F_7$

¿Cuáles son los posibles factores de $F_p$ ? ¿Qué técnicas puedo utilizar para atacar este problema?

Answer 1

El $ab$ factor es obvio.

Olvida el factor de $p$ y deshomogeneizar: $$G_p(x)=(x+1)^p-x^p-1.$$

Si $p$ es impar $G_p(-1)=0-(-1)^p-1=0$ : $(x+1)\mid G_p(x)$ y así $(a+b)\mid F_p(a,b)$ .

Dejemos que $\omega$ sea una raíz cúbica primitiva de la unidad. Si $p\equiv1\pmod 6$ entonces $$G_p( \omega)=(1+\omega)^p-x^p-1=(-\omega^2)^p-\omega^p-1=-\omega^2-\omega-1=0.$$ Lo mismo ocurre cuando $p\equiv5\pmod 6$ y ambos $(x-\omega)$ , $(x-\omega^2)\mid G_p(x)$ . Así que $(x^2+x+1)=(x-\omega)(x-\omega^2)\mid G_p(x)$ .

De nuevo, dejemos que $p\equiv1\pmod6$ . Entonces $$G_p'(\omega)=(p-1)(\omega+1)^{p-1}-(p-1)=(p-1)(1-1)=0.$$ Así, $(x-\omega)^2\mid G_p(x)$ y obtenemos $(x^2+x+1)\mid G_p(x)$ . Pero si $p\equiv5\pmod6$ , $$G_p'(\omega)=(p-1)(\omega+1)^{p-1}-(p-1)=(p-1)((-\omega^2)^{p-1}-1) \ne0.$$ Entonces $(x^2+x+1)\nmid G_p(x)$ .

En cuanto a demostrar que los factores residuales son irreducibles, parece que ser un problema difícil.