Prueba de que $\dim\big(\mathcal{L}(V,W)\big)=\dim V *\dim W$ cuando $V, W$ son de dimensión finita.

Question

He estado mirando unas cuantas pruebas de esto, y tengo un problema con la estándar, que utiliza el concepto de isomorfismo. Supongamos que $\dim V=n$ y $\dim W=M$ . La prueba utiliza la función $M$ de $\mathcal{L}(V,W)$ (los mapas lineales de $V$ a $W$ ), a $\text{Mat}_{m\times n}(F)$ (matrices de $m\times n$ ), que asigna a cada mapa lineal $T$ es matriz $M(T)$ . Para ello, primero fijan unas bases $(v_1,....v_n)$ de $V$ y $(w_1,...w_m)$ de $W$ . Mi problema es esta fijación de la base. Porque entonces la función $M$ no es una función, al menos no de $L(V,W)$ porque cada mapa lineal tiene muchas matrices dependiendo de la base. ¿Cómo podemos afirmar entonces que $\dim\big(\mathcal{L}(V,W)\big)=(\dim V)(\dim W)$ ?

Answer 1

Una prueba más conceptual:

Le $\mathcal B$ una base de $V$ . Por definición de una base, tenemos un isomorfismo $L(V,W)\simeq W^\mathcal B$ Así que $$\dim(L(V,W))=\dim(W^\mathcal B)=\lvert\mathcal B\rvert\cdot \dim W =\dim V\cdot \dim W.$$

Answer 2

Dejemos que $V$ y $W$ sean espacios vectoriales de dimensión finita y $\left\{v_1,\dots , v_n\right\}$ y $\left\{w_1,\dots , w_m\right\}$ bases de $V$ y $W$ respectivamente. Definir $L_{ij}:V\rightarrow W$ por $L_{ij}(v_k)=\delta_{ik}w_j$ . Entonces $L_{ij}\in L(V,W)$ para todos $1\leq i\leq n, 1\leq j\leq m$ . Demuestre que cualquier mapa lineal $T\in L(V,W)$ puede escribirse de forma única como una combinación lineal de los $L_{ij}$ 's. De ello se desprende que el $L_{ij}$ son una base de $L(V,W)$ .

Ahora bien, esta prueba efectivamente fija las bases al principio, sin embargo esto no es un problema ya que cualquier mapa lineal corresponde unívocamente a una matriz después de la elección de la base. Cuando tenemos dos matrices que corresponden al mismo mapa lineal pero con bases diferentes, están unidas por alguna matriz de cambio de base.

Answer 3

Supongamos que m = dim( $V$ ) y n = dim( $W$ ). Dado que $L(V,W)$ y $\mathbb{F}^{m,n}$ son isomorfas, dim $(L(V,W))$ = dim $\mathbb{F}^{m,n}$ donde dim $\mathbb{F}^{m,n} = mn$ = dim( $V$ ) dim( $W$ ).

Answer 4

Fijar una base $\beta$ de $V$ y fijar una base $\gamma$ de $W$ . Ahora $M$ toma $T$ a su matriz $[T]_{\beta}^{\gamma}$ con respecto a estas bases. Esto es una función.