¿Es el conjunto de enteros pares cerrado bajo esta métrica

Question

Dejemos que $d: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}$ y que $p$ sea un primo impar.

dejar $d$ definirse a través de

$$d(m,n)=0 \space \text{if $ m=n $}$$

y

$$d(m,n)=\frac{1}{r+1} \space \text{if $ m \neq n $}$$

donde $r \in \mathbb{Z}^{\geq 0}$ es tal que $p^r \mid m-n$ pero $p^{r+1}\nmid m-n$ .

Demostrar o refutar que el conjunto

$$2 \mathbb{Z}:=\{...,-4,-2,0,2,4,...\}$$

está cerrado en $\mathbb{Z}$ . Sé que la diferencia de dos pares es de nuevo par y la diferencia de dos impares es par. Así que si consideramos los enteros Impares, entonces para dos enteros Impares cualesquiera $m,n$ tenemos

$$d(m,n)=\frac{1}{0+1}=1$$

esto es porque si $p$ es impar entonces sólo $p^0 \mid m-n$ .

¿entonces no podemos hacer la distancia arbitrariamente pequeña por lo que las probabilidades no pueden ser abiertas y por lo tanto los pares no son cerrados?

Answer 1

Usted tiene $\lim_{n\to\infty}1+p^n=1$ . Pero cada número de la forma $1+p^n$ es par, mientras que $1$ es impar. Por lo tanto, el conjunto de enteros pares no es cerrado.