¿Hay escalares que hacen $u_1$ a $u_3$ ¿Independencia lineal?

Question

Hay 4 vectores: $v_1 = (1,4,2,-3) , v_2 = (-2,4,-4,27) , v_3 = (1,8,2,4) , v_4 = (2,-12,4,-41)$

¿Hay alguna escalares $a_i, b_i, c_i ( 1 \le i \le 4)$ que los vectores

$u_1 = \sum\limits_{i=1}^4 a_iv_i$

$u_2 = \sum\limits_{i=1}^4 b_iv_i$

$u_3 = \sum\limits_{i=1}^4 c_iv_i$

ser independiente?

Bueno, puse $v_1,v_2,v_3,v_4$ en una matriz y obtuvo 3 vectores que son linealmente independientes.

Lo que significa que si quiero $u_1,u_2,u_3$ para que sean linealmente independientes tendré que poner para cada $u_i$ vector dos escalares para ser cero.

por ejemplo:

$u_1 = a_1v_1$

$u_2 = b_2v_2$

$u_3 = c_3v_3$

y así tendré unas 6 opciones supongo para hacer la independencia lineal. ¿Qué opinas? ¿He resuelto esto mal y hay una forma mejor de resolverlo?

Answer 1

Después de poner v1, v2, v3, v4 en una matriz y obtener su forma escalonada de filas, obtener el conjunto lineal independiente a partir de los correspondientes pivotes. Supongamos que v1, v2 y v3 son linealmente independientes. Entonces basta con elegir u1=v1, u2=v2 y u3=v3 asignando los valores adecuados para las ai's.