Estoy tratando de hacer el siguiente ejercicio:
Dejemos que $\xi_i,\dots, \xi_n$ sean variables aleatorias Bernoulli independientes tales que $$ P\{\xi_i=0\}=1-\lambda_i \Delta\\ P\{\xi_i=1\}=\lambda_i \Delta $$ donde $\Delta$ es un número pequeño, $\Delta>0,\lambda_i>0$ .
Demuestra que $$ P\{\xi_1+\dots+\xi_n=1\}=(\sum_{i=1}^n\lambda_i)\Delta + O(\Delta^2) $$
Ya escribí (como ya se muestra en parte de la respuesta de @Marcin Malogrosz): $$ P\{\xi_1+\dots+\xi_n) = \sum_i \lambda_i \Delta \prod_{i\neq j} (1-\lambda_j\Delta) \\ \Bigl|\sum_i \lambda_i \Delta \prod_{i\neq j} (1-\lambda_j\Delta) - \sum_i \lambda_i \Delta\Bigr| = \sum_i \lambda_i \Delta \Bigl(1-\prod_{i\neq j} (1-\lambda_j\Delta) \Bigr) $$ Pero estoy atrapado aquí
Puedo mostrar una versión simplificada con $P\{\xi_i=1\}=\lambda_i\Delta=\lambda\Delta$ (cuando el $n$ variables aleatorias también son idénticas) como sigue: $$ P\{\xi_1+\dots+\xi_n=1\}=\sum_i \lambda\Delta (1-\lambda\Delta)^{n-1} $$ utilizando la aproximación de Taylor cuando $\Delta$ está cerca de $0$ como $$ \lambda\Delta(1-\lambda\Delta)^{n-1}\Bigr|_{\Delta=0}+\frac{\Delta}{1!}\Bigl\{\lambda(1-\lambda\Delta)^{n-1}-\lambda^2\Delta^2(n-1)(1-\lambda\Delta)^{n-2}\Bigl\}\Bigr|_{\Delta=0} + O(\Delta^2)\\ =\lambda\Delta+O(\Delta^2) $$ y luego sumar sobre $i$ .
Mi problema es mostrar:
$$ \Bigl(1-\prod_{i\neq j} (1-\lambda_j\Delta) \Bigr)=O(\Delta) $$
Gracias de antemano
