¿Cuál es el estado actual de la cohomología cristalina?

Question

Las excelentes referencias dadas en la pregunta de Ilya me hacen preguntarme sobre el estado actual de las muchas conjeturas y preguntas abiertas en la encuesta de Illusie de 1994 sobre la cohomología cristalina. Obviamente (solo compara la encuesta de Illusie de 1975 con la mencionada anteriormente o con la encuesta de Chambert-Loir de 1998), hay un trabajo muy intenso en eso y las conexiones entre las diversas teorías de cohomología atacando el caso "l=p". Algunas encuestas más recientes solo sobre la teoría p-ádica de Hodge de Fontaine ya están vinculadas en las respuestas a la pregunta de Ilya, el libro de Le Stum (Errata) cubre la cohomología rígida. Entre los problemas abiertos mencionados en la encuesta de Illusie se encuentran teoremas de finitud, coeficientes cristalinos, semiestabilidad geométrica, la identidad de polinomios característicos de los Frobenius de diferentes teorías, ... ¿Cuál es el estado actual de estos? ¿Qué nuevas teorías se han creado en la última década, cómo se ajustan entre sí y qué nuevas preguntas surgieron?

Edición: U. Jannsen habló recientemente sobre "un refinamiento de la cohomología cristalina mediante el uso de la teoría de los llamados calibres introducida anteriormente por Mazur y Kato y ciertos haces sintómicos." Desafortunadamente no encontré ningún borrador sobre eso. Edición: Jannsen en (diapositivas) "una teoría de cohomología en característica p que perfecciona la cohomología cristalina - y funciona bien para torsión" y "una teoría de haces que generaliza la teoría de Dieudonné - y funciona bien para torsión."

Edición: Go Yamashita habló sobre "La teoría de Hodge p-ádica para variedades abiertas" evitando las extensiones casi étalas de Faltings. Desafortunadamente no encontré ningún texto donde se pueda leer eso.

Edición: Una nota breve de Bhargav Bhatt y Aise Johan de Jong sobre una prueba abreviada del teorema de comparación entre la cohomología cristalina y la de Rham.

Edición: Una nueva demostración de la conjetura de semiestabilidad por Beilinson y una definición de cristales derivados de Gaitsgory y Rozenblyum.

Edición: Una cohomología derivada de Rham p-ádica por Bhargav Bhatt, que proporciona "descripciones derivadas de Rham de los anillos de período habituales y los mapas relacionados en la teoría de Hodge p-ádica" y "una nueva demostración de la conjetura cristalina de Fontaine y la conjetura semiestable de Fontaine-Jannsen".

Edición: Una "una nueva teoría de cohomología en característica p>0, la llamada cohomología de calibre F, una cohomología con valores en la categoría de los llamados calibres F, que perfecciona la cohomología cristalina" de Fontaine, Jannsen.

Edición: Otra charla de historia de las matemáticas muy interesante y agradable de leer por Illusie "Grothendieck en Pisa: cristales y grupos de Barsotti-Tate":

Answer 1

Esta es una pregunta de "gran imagen", pero permítanme ilustrar algún progreso reciente tomando un pequeño ejemplo cercano a mi corazón.

Adjuntemos al campo $\mathbb{Q}_p$ una raíz primitiva $l$-ésima de $1$, donde $p$ y $l$ son primos, para obtener la extensión $K|\mathbb{Q}_p$. Observamos que esta extensión es no ramificada si $l\neq p$ pero ramificada si $l=p$. Cuando adjuntamos todas las raíces $l$-ésimas de $1$, obtenemos el carácter cíclotómico $l$-ádico $\chi_l:\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}_p|\mathbb{Q}_p)\to\mathbb{Q}_l^\times$ que es no ramificado si $l\neq p$ pero ramificado si $l=p. Pero no podemos simplemente decir que $\chi_p$ es ramificado y dejarlo así. Debemos expresar de alguna manera el hecho de que $\chi_p$ es un carácter natural y "agradable", no un carácter arbitrario $\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}_p|\mathbb{Q}_p)\to\mathbb{Q}_p^\times$, de los cuales hay muchos porque las topologías en los grupos $\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}_p|\mathbb{Q}_p)$, $\mathbb{Q}_p^\times$ son de alguna manera "compatibles".

El hecho de que $\chi_p$ sea un carácter "agradable" se expresa diciendo que es crisitalline. En general, podemos hablar de representaciones cristalinas de $\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}_p|\mathbb{Q}_p)$ en espacios de dimensional finita sobre $\mathbb{Q}_p$; la definición exacta está en términos de un cierto anillo $\mathbf{B}_{\text{cris}}$, construido por Fontaine, que se puede entender en términos de cohomología cristalina.

Mi ejemplo ilustrativo trata sobre el criterio $l$-ádico para que una variedad abeliana $A$ sobre $\mathbb{Q}_p$ tenga buena reducción. Para $l\neq p$, esto se puede encontrar en un artículo de Serre y Tate en Annals, y se llama criterio de Néron-Ogg-Shafarevich. Dice que $A$ tiene buena reducción si y solo si la representación de $\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}_p|\mathbb{Q}_p)$ en el módulo de Tate $l$-ádico $V_l(A)$ es no ramificada.

¿Qué sucede cuando $l=p$? Es demasiado esperar que $V_p(A)$ sea una representación no ramificada cuando $A$ tiene buena reducción; hemos visto que incluso $\chi_p$ no es no ramificado. Lo que demostró Fontaine es que la representación $p$-ádica $V_p(A)$ es cristalina (si $A$ tiene buena reducción). Para completar la analogía con el caso $l\neq p$, Coleman y Iovita demostraron en un artículo en Duke que, conversamente, si la representación $V_p(A)$ es cristalina, entonces la variedad abeliana $A$ tiene buena reducción.

Espero que encuentres esto tentador.

Answer 2

Kedlaya dio una charla en agosto en la que mencionó el trabajo de Daniel Caro sobre finitud para la cohomología rígida con coeficientes (alguno de los cuales está en ArXiv). En la misma página, puedes encontrar notas de sus charlas sobre la reducción semiestable.