El grupo de automorfismo de un campo fijo

Question

Dejemos que $E$ sea una extensión de Galois de $F$ con el grupo de Galois $G$ y que $L$ sea el campo fijo de un subgrupo $H$ de $G$ . Demuestre que el grupo de automorfismo de $L/F$ es $N/H$ donde $N$ es el normalizador de $H$ en $G$ .

Ayúdame una pista para probarlo. Muchas gracias.

Answer 1

Queremos demostrar que, dado cualquier $ \sigma \in G $ , $\sigma(L)$ tiene un subgrupo correspondiente $\sigma H \sigma^{-1}$

Dejemos que $\alpha\in H$ y $x\in E$ . Tenemos $\sigma \alpha \sigma^{-1}(\sigma(x))=\sigma \alpha(x)$ . Así, $\sigma(x)$ se fija en $\sigma \alpha \sigma^{-1}$ si y sólo si $x$ se fija en $\alpha$ . Por lo tanto, el campo fijo de $\sigma H \sigma^{-1}$ es $\sigma(L)$ .