Primero, algo de sintaxis. Tenemos un alfabeto de seis símbolos: $\{A, E, I, O, X, {'}\}$ . Una variable se define recursivamente como el símbolo $X$ seguido de cero o más $'$ s. Ahora, dejemos que $V$ y $W$ sean variables. Una fórmula bien formada de la lógica silogística es una de estas cuatro fórmulas: $VAW, VEW, VIW, VOW$ . Vamos a leerlos como, respectivamente, Todos $V$ son $W$ 's, No $V$ son $W$ 's, Algunos $V$ son $W$ 's, y algunos $V$ no son $W$ 's.
Ahora, para establecer la semántica. Defino un dominio del discurso como el conjunto de potencias de algún conjunto. Dado un dominio del discurso $D$ una valoración es un mapa desde el conjunto de variables $\{X, X', X'', X''', \dots\}$ a $D$ . Dada una valoración $f$ asignamos un valor de verdad a las fórmulas $VAW$ , $VEW$ , $VIW$ y $VOW$ de la siguiente manera:
- El valor de verdad de $VAW$ es $\top$ si $f(V) \subseteq f(W)$ y $\bot$ de lo contrario.
- El valor de verdad de $VEW$ es $\top$ si $f(V) \cap f(W) = \emptyset$ y $\bot$ de lo contrario.
- El valor de verdad de $VIW$ es $\top$ si $f(V) \cap f(W) \neq \emptyset$ y $\bot$ de lo contrario.
- El valor de verdad de $VOW$ es $\top$ si $f(V) - f(W) \neq \emptyset$ y $\bot$ de lo contrario.
Por último, la parte lógica. Un argumento es un par ordenado, cuyo primer componente es un conjunto de wffs, llamados premisas, y cuyo segundo componente es un único wff, llamado conclusión. Se dice que un argumento es silogísticamente válido si no hay ninguna valoración en ningún dominio que asigne el valor $\top$ a todos los locales pero $\bot$ a la conclusión.
Ahora, tengo dos preguntas. Primero, ¿ha habido algún otro documento o texto que haya formalizado la lógica silogística de la forma en que yo lo he hecho en este post? Segundo, ¿ha habido, en algún documento o texto, un conjunto sólido y completo de axiomas y reglas de inferencia para la lógica silogística, junto con la prueba de que es realmente sólida y completa? Me gustaría tener algunas referencias para ambas preguntas.
