Digamos que tenemos una función de $\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ con radio de convergencia $R>0$. ¿Por qué es el radio de convergencia sólo $R$? Podemos concluir que debe ser un polo, de la rama de corte o discontinuidad de algunas $z_0$$|z_0|=R$? ¿Qué significa eso para funciones como
$$f(z)=\begin{cases}
0 & \text{for %#%#%} \\\
e^{-\frac{1}{z^2}} & \text{for %#%#%} \end{casos}$$
que tiene un radio de convergencia $z=0$?
Respuesta
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Si el radio de convergencia es $R$, lo que significa que hay un punto singular en el círculo de $|z| = R$. En otras palabras, hay un punto de $\xi$ sobre el círculo de radio $R$ de manera tal que la función no puede ser extendido a través de "continuación analítica" en un barrio de $\xi$. Esta es una aplicación directa de la compacidad del círculo y se puede encontrar en libros sobre análisis complejo, por ejemplo, Rudin.
Sin embargo, esto no significa que hay un poste, de la rama de corte, o la discontinuidad, a pesar de que aquellos que hacen que valores singulares. De hecho, un "polo" en el límite sólo tendría sentido si puede analíticamente continuar con el poder de series de dominio adecuado que contiene el disco $D_R(0)$, y esto es generalmente imposible. Por ejemplo, el poder de la serie de $\sum z^{2^j}$ no se puede continuar de alguna manera fuera de la unidad de disco, ya que es ilimitado a lo largo de cualquier rayo cuyo ángulo es una diádica fracción. El círculo unitario es su límite natural, a pesar de que no tiene sentido decir que la función tiene un punto de ramificación o polo. (Más generalmente, se puede demostrar que, dado cualquier dominio en el avión, hay un holomorphic función en ese dominio que no se puede extender más allá, esencialmente con las variaciones sobre el mismo tema.)
La función de $\sum_j \frac{z^j}{j^2}$, dicho sea de paso, es continua en el cerrado de la unidad de disco, pero a pesar de que hay un punto singular no. La continuidad puede ocurrir en puntos singulares.
La última función que mencionas no tienen un poder de expansión de la serie en una vecindad de cero. De hecho, no es continua en cero, ya que sopla para arriba si usted se acerca a cero a lo largo del eje imaginario.
