Encontrar una función de distancia $d$ s.t un conjunto es cerrado wrt $d \Leftrightarrow$ es una unión finita de subespacios

Question

Ampliando el título comprimido, la pregunta es:

¿Existe una función de distancia $d$ en $\mathbb{R}^2$ tal que un conjunto es cerrado con respecto a $d$ si y sólo si es una unión finita de subespacios afines de $\mathbb{R}^2$ ?

Así que sé que un subespacio afín de $V$ sobre un campo $k$ es un conjunto de la forma $v+U= \left \{ v+u : u \in U \right \} $ donde $ v \in V $ y $ UV$ es un subespacio lineal.

Desglosando esta pregunta en matemáticas formales y aplicándola a nuestro caso, podemos reescribirla como

Hace una función de distancia $d$ en $\mathbb{R}^2$ existe s.t $\exists$ un conjunto $S$ s.t $\forall x \in \overline{S} \space\exists \space \epsilon > 0 $ s.t $B(x,\epsilon) \subseteq \overline{S} \iff S = \bigcup_{n<N} \left \{ v+u: u \in U \right \} $ donde $ v \in \mathbb{R}^2, U \subseteq \mathbb{R}^2, N \in \mathbb{N}$ ?

¿Lo estoy haciendo bien? ¿Podría alguien ayudarme a encontrar la respuesta? Estoy un poco abrumado.

Gracias.

Answer 1

Supongamos que sí. Entonces el espacio no es en particular discreto (o de lo contrario cada subconjunto sería cerrado), así que escoge alguna secuencia $x_n$ que converge a un punto que no está en $x_n$ . Llama al límite $x$ . En primer lugar, el $x_n$ se acumulan hasta ningún otro punto (es decir, el cierre de $\{x_1, x_2, \dots, \}$ sólo añade el punto $x$ Esto se debe a que si existiera alguna subsecuencia $x_{n_k}$ y un punto $y$ con $d(x_{n_k},y) < 1/k$ entonces $d(x,y) \leq d(x,x_{n_k}) + d(x_{n_k},y)$ que va a $0$ como $k \to \infty$ porque $x_n \to x$ . Así que $x=y$ . Por tanto, el cierre del conjunto $\{x_1, x_2, \dots, \}$ es el conjunto contable $\{x_1, x_2, \dots, x\}$ pero su espacio sólo tiene subconjuntos cerrados finitos e incontables. Contradicción.

El mismo argumento demuestra que cualquier espacio métrico infinito tiene un subconjunto cerrado contable.

Answer 2

Espero que sepas que $\Bbb{R}^2$ no es una unión finita de subespacios propios. De esto se deduce que tomando dos conjuntos cerrados cualesquiera $C,D \neq \Bbb{R}^2$ , usted tiene $C \cup D \neq \Bbb{R}^2$ (en otras palabras, el plano no es una unión finita de líneas o puntos).

Utilizando la ley de De Morgan, esto equivale a decir que tomando dos conjuntos abiertos no vacíos cualesquiera $U,V \neq \emptyset$ , usted tiene $U \cap V \neq \emptyset$ .

Pero ahora, esto no puede sostenerse en un espacio métrico (con al menos dos puntos): de hecho, dejemos que $x,y \in \Bbb{R}^2$ sean dos puntos distintos, y llamemos $3d = d(x,y) > 0$ . Entonces por la desigualdad del triángulo las dos bolas abiertas de radio $d$ centrado en $x,y$ respectivamente son dos conjuntos abiertos no vacíos y disjuntos.