Morfismos en la categoría de presentaciones de grupos

Question

¿Cuáles son los morfismos en la categoría de presentaciones de grupos?

Answer 1

Nunca he oído hablar de la "categoría de presentaciones en grupo". Si tuviera que adivinar lo que se pretende con tal nombre, sería una categoría cuyos objetos son diagramas

$$ F \to G $$

donde $F$ y $G$ son grupos libres. En consecuencia, los morfismos deben ser morfismos de diagramas: es decir, cuadrados conmutativos

$$ \begin{matrix} F &\to& G \\ \downarrow & & \downarrow \\ F' &\to& G' \end{matrix} $$

Answer 2

Si se desea que los objetos de la categoría resultante sean bastante "rígidos" (es decir, que ser un morfismo sea una condición muy fuerte), entonces las siguientes definiciones cumplen con su cometido.

Definición 0. Siempre que $S$ es un conjunto, un estructura del carcaj en $S$ consiste en un conjunto $Q$ junto con dos mapas $$\mathrm{tar}_Q : S \leftarrow Q, \qquad \mathrm{src}_Q : S \leftarrow Q.$$

Pensamos en $Q$ como una familia de flechas entre los elementos de $S$ ; dado $q \in Q$ pensamos en $\mathrm{tar}_Q(q)$ como el "objetivo" de $q$ y $\mathrm{src}_Q(q)$ como la "fuente".

Definición 1. A presentación en grupo $P$ consiste en un conjunto $\mathrm{gen}(P)$ junto con una estructura de carcaj $\mathrm{rel}(P)$ en el conjunto subyacente del grupo generado libremente por $\mathrm{gen}(P).$

Por ejemplo, dejemos que $P$ denotan la presentación $\langle x,y \mid x^2=y^3\rangle.$ Entonces $P$ puede describirse de forma abstracta como sigue:

• $\mathrm{gen}(P) = \{x,y\}$
• $\mathrm{rel}(P)$ es un conjunto con un elemento, llame a ese elemento $*$
• $\mathrm{tar}_{\mathrm{rel}(P)}(*) = x^2$
• $\mathrm{src}_{\mathrm{rel}(P)}(*) = y^3$

Pensamos en los elementos de $\mathrm{gen}(P)$ como nuestros generadores y los elementos de $\mathrm{rel}(P)$ como nuestras relaciones.

Ahora escribe $F$ para el functor de grupo libre.

Definición 2. Presentaciones en grupo $Q$ y $P$ , un morfismo $f : Q \leftarrow P$ consta de dos funciones $$\mathrm{gen}(f) : \mathrm{gen}(Q) \leftarrow \mathrm{gen}(P), \qquad \mathrm{rel}(f) : \mathrm{rel}(Q) \leftarrow \mathrm{rel}(P)$$ de manera que se cumplan las siguientes ecuaciones:

$$F(\mathrm{gen}(f)) \circ \mathrm{tar}_{\mathrm{rel}(P)} = \mathrm{tar}_{\mathrm{rel}(Q)} \circ \mathrm{rel}(f), \qquad F(\mathrm{gen}(f)) \circ \mathrm{src}_{\mathrm{rel}(P)} = \mathrm{src}_{\mathrm{rel}(Q)} \circ \mathrm{rel}(f)$$