Condición de Lyapunov para variables aleatorias acotadas

Question

He encontrado el siguiente ejercicio:. Es un extracto de Billingsley Probabilidad y medida: supongamos $(X_{nk})$ , $k=1,\ldots,r_n$ para $n\in\mathbb{N}$ satisfacer $|X_{nk}|<K_n$ y $K_n=o(s_n)$ , donde $s_n=\sum_{k=1}^{r_n} E|X_{nk}|^2$ . Demuestre la condición de Lyapunov, es decir, que hay alguna $\delta>0$ tal que $$\frac{1}{s_n^{2+\delta}}\sum_{k=1}^{r_n}E|X_{nk}|^{2+\delta}\to 0.$$

La estimación ingenua no consigue nada. Lo primero que no me queda claro es lo siguiente: $K_n=o(s_n)$ se cumple si $M_n$ va a cero y $s_n\to s<\infty$ . Pero en este caso la condición de Lindeberg no debe cumplirse y por tanto la condición de Lypaunov tampoco. Así que supongo que la afirmación es errónea.

Answer 1

Desde $|X_{nk}|\leqslant K_n$ casi seguro, $|X_{nk}|^{2+\delta}\leqslant K_n^\delta|X_{nk}|^2$ casi con toda seguridad, por lo que $$\frac{1}{s_n^{2+\delta}}\sum_{k=1}^{r_n}E|X_{nk}|^{2+\delta}\leqslant\frac{1}{s_n^{2+\delta}}\sum_{k=1}^{r_n}K_n^\delta E|X_{nk}|^{2}=\left(\frac{K_n}{s_n}\right)^\delta.$$ Por lo tanto, la condición de Lyapunov se mantiene para cada $\delta\gt0$ .