Probabilidad de desigualdad entre variables aleatorias

Question

Para demostrar un teorema en mi investigación, me gustaría utilizar un lema de la teoría básica de la probabilidad, pero no sé si es correcto.

Para tres variables aleatorias $X,Y$ y $Z$ no necesariamente independientes, ¿la igualdad $$ P(X \leq Y \leq Z) = P(X \leq Y)P(Y \leq Z)$$ ¿se mantiene?

$P(\cdot)$ es el operador de probabilidad.

Gracias de antemano.

Answer 1

En general, no sería cierto aunque fueran independientes.

Por ejemplo, si $X,Y,Z$ se distribuyen de forma idéntica e independiente de forma continua, entonces

pueden venir en cualquier orden con igual probabilidad por lo que $ P(X \leq Y \leq Z) = \frac16$

pero de forma similar $P(X \leq Y)P(Y \leq Z) = \frac12 \times \frac12 = \frac14$ .

Answer 2

Dejemos que $X=Z$ y $Y$ tal que $P(X \le Y) = \frac{1}{2}$ y $P(X=Y)=0$ entonces para que la igualdad se mantenga debemos tener \begin{eqnarray} 0 &=& P(X=Y) \\ &=&P(X \le Y \le Z) \\ &=& P(X \le Y) P(Y \le X)\\ &=& P(X \le Y) \left( 1- P(X<Y) \right) \\ &=& \frac{1}{4} \end{eqnarray} Por lo tanto, la igualdad no se mantiene en general.

Y que tales $X$ y $Y$ existe, toma $X=0$ y $Y$ el lanzamiento de una moneda justa, donde la cola obtiene el valor $1$ y encabeza el valor $-3$ .