Si $f\in C_0(E)$ con $\inf_{x\in E}f(x)<\infty$ , entonces hay un $x\in E$ con $f(x)\le\min(f,0)$

Question

Dejemos que $E$ sea un espacio de Hausdorff localmente compacto y $$C_0(E):=\left\{f\in C(E):\left\{|f|\ge\varepsilon\right\}\text{ is compact for all }\varepsilon>0\right\}.$$

Dejemos que $f\in C_0(E)$ con $$\inf_{x\in E}f(x)<0\tag1.$$ ¿Cómo podemos demostrar que existe una $x_0\in E$ con $$f(x_0)\le\min(f(x),0)\;\;\;\text{for all }x\in E\tag2?$$

Supongo que podemos simplemente aplicar el hecho $^1$ que si $g\in C_0(E)$ Hay un $x_0\in E$ con $|g(x_0)|=\sup_{x\in E}|g(x)|$ a la función $g:=\min(f,0)$ ¿o me estoy perdiendo algo?

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$^1$ Supongamos que $E$ es una norma $\mathbb R$ -y el espacio vectorial $g\not\equiv0$ . Entonces hay un $x_1\in E$ con $\varepsilon:=|g(x_1)|>0$ . Desde $\left\{|g|\ge\varepsilon\right\}$ es compacto, hay un $r>0$ con $$|g(x)|<\varepsilon\;\;\;\text{for all }\left\|x\right\|_E>r.\tag1$$ Por la continuidad de $g$ y la compacidad de la bola cerrada alrededor de $0\in E$ con radio $r$ Hay un $x_0\in E$ con $$|g(x_0)|=\sup_{\left\|x\right\|_E\:\le\:r}|g(x)|\ge\varepsilon\tag4.$$ Tal vez podamos utilizar una argumentación similar incluso cuando $E$ es un espacio Hausdorff general localmente compacto.

Answer 1

De hecho, para $g \in C_0(E)$ existe $x_0 \in E$ tal que $|g(x_0)| = \sup _{x\in E}|g(x)|$ :

El conjunto $K = \left\{|g| \ge \frac12 \sup _{x\in E}|g(x)| \right\}$ es compacto por lo que $|g|\big|_K$ alcanza su máximo, es decir, existe $x_0 \in E$ tal que $$|g(x_0)| = \sup_{x \in K}|g(x)|$$ Pero tenemos $|g(x)| < \frac12 \sup _{x\in E}|g(x)|$ para $x \notin K$ así que $$|g(x_0)| = \sup_{x \in K}|g(x)| = \sup_{x \in E}|g(x)|$$

Aplicando esto a $g = \min(f,0)$ tenemos $|g| = |f|\chi_{\{f < 0\}}$ así que $f(x_0) \le 0$ .

Además, si $f(x) < 0$ entonces $|g(x)| = |f(x)|$ por lo que para tal $x$ tenemos $$f(x_0) = -|g(x_0)| \le -|g(x)| = f(x)$$ Por lo tanto, $f(x_0) \le g(x)$ para todos $x \in E$ .