Como sabemos, la definición epsilon-delta de continuidad es:
Para dado $$\varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \text{s.t. } 0 < |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon $$
Mi pregunta: ¿Por qué no funcionaría si la implicación fuera:
Para dado $$\varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \text{s.t. } |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon \implies 0 < |x - x_0| < \delta ?$$
No. ¡El punto es que algunas funciones continuas no tienen esta propiedad! ¡Por lo tanto, las dos afirmaciones no son equivalentes.
Considere cualquier función real constante $f$: sea $x, y$ cualquier par de puntos y $\epsilon >0$. Entonces $|f(x)-f(y)|=0<\epsilon$, pero, podemos hacer que $|x-y|$ "sea tan grande como queramos". Por ejemplo, tome $x=0$ y deje que $y$ tienda a infinito: no hay $\delta$, en este caso, que funcione.
Hay tres formas de interpretar esta pregunta.
Podrías estar preguntando "¿cuál es la diferencia entre las dos direcciones de implicación?".
Podrías estar preguntando "¿qué, intuitivamente, es la propiedad de las funciones continuas capturada por la definición real que no es capturada por la contraria?"
Podrías estar preguntando "¿cuáles son las consecuencias de la definición contraria?"
La respuesta a la pregunta 1 es que no están relacionadas. Para entender cómo, prácticamente, no están relacionadas, se responde mediante 2 y 3, pero desde la perspectiva lógica, realmente no hay conexión entre $A \implies B$ y $B \implies A$.
La respuesta a 2 es lo que todos siempre dicen sobre continuidad: se supone que es la propiedad de que "los valores de $f$ en valores cercanos de $x$ son cercanos". Presumiblemente has visto la "derivación" informal de la definición $\epsilon\delta$ a partir de esta descripción, pero aquí está de nuevo.
Primero, tenemos que expresar qué significa que dos números $x$ e $y$ estén cerca; digamos que tenemos una "expectativa" de cercanía dada por un número $e > 0$, y que su proximidad "cumple con nuestra expectativa" si $|x - y| < e$.
Ahora debemos preguntarnos cómo expresar la relación entre la cercanía de dos entradas $x$ y $a$ y de sus salidas correspondientes $f(x)$ y $f(a)$. Deberíamos establecer una expectativa, $\epsilon > 0$, para la proximidad de $f(x)$ y $f(a)$, y dependiendo de $f$ y $a$ desarrollamos una expectativa para la proximidad requerida, $\delta > 0$ de $x$ y $a$ para que suceda.
Finalmente, escribimos la cadena de causalidad: comenzamos con $\epsilon > 0$ y encontramos $\delta > 0$, y si $x$ y $a$ cumplen con la expectativa establecida por $\delta$, entonces esto (por intención) debería resultar en que $f(x)$ y $f(a)$ cumplan con la expectativa establecida por $\epsilon$. O en símbolos: $$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tal que } |x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \epsilon.$$
De hecho, hay dos lugares donde la cadena de causalidad afecta el orden de las cosas en la expresión simbólica:
Comenzando con $\forall \epsilon$, o en palabras, comenzando con una expectativa para la proximidad de $f(x)$ y $f(a)$. La versión contraria también tiene este orden. Sin embargo, para justificar esto, déjame decir que si intentaras establecer primero una expectativa para la proximidad de $x$ y $a, estarías intentando influenciar la proximidad de las entradas de $x$ basándote en la proximidad de sus salidas, que es la dirección opuesta en la que funcionan las funciones (entrada a salida).
Haciendo que $x$ y $a$ cumplan con su expectativa de proximidad antes que $f(x)$ y $f(a)$. Esto se invierte en la versión contraria, y la razón por la que esto es incorrecto es que si decimos primero que $f(x)$ está lo suficientemente cerca de $f(a)$ sin haber encontrado $x$, entonces estamos haciendo una declaración generalizada sobre cualquier $x$ con el mismo valor bajo $f$. Es como decir que odias las aceitunas sin haber probado las que te ofrecen.
Con suerte, esto aclara por qué la definición formal se toma exactamente de la manera en que está, para que coincida con la intuición.
Finalmente, llegamos a la pregunta 3: ¿qué describe realmente la definición contraria? La respuesta: todas las funciones. Porque no importa qué tan pequeño sea $\epsilon$, siempre y cuando tengamos $|f(x) - f(a)| < \epsilon$ simplemente elige $\delta = 2|x - a|$, y entonces tenemos $|x - a| < \delta$. (Y por supuesto, si no tenemos $|f(x) - f(x)| < \epsilon$, entonces no es necesario verificar la implicación en absoluto) Hablando informalmente, esto es porque no solo tenemos que elegir $\delta$ después de $\epsilon, también podemos usarlo después, por lo que la declaración con $\epsilon$ no tiene efecto. En términos lógicos, tenemos tanto $F \implies T$ como $T \implies T$, así que si puedes elegir el lado derecho de la implicación, siempre puedes hacer que sea verdadero. Lo difícil es el lado izquierdo.
La definición opuesta no permite que $\delta$ dependa de $x$. La afirmación es que un único $\delta$ debería funcionar para todos los $x$. Cualquier función con rango acotado, por ejemplo, no cumpliría la condición opuesta.
Considera las implicaciones de usar esta definición para cualquier función constante (que todas deberían ser continuas, si alguna función es continua).
En particular, para $c \in \mathbb{R}$ considera la función constante $f(x) = c$. Dado $x_0 \in \mathbb{R}$, tomando $\varepsilon = 1$, nota que para cualquier $\delta > 0$ si $x = x_0 + \delta$ tenemos que
Por lo tanto la implicación $| f(x) - f(x_0) | < \varepsilon \rightarrow | x - x_0 | < \delta$ no se cumple. Se deduce que la función $f$ no cumple la propiedad dada.
Supongamos que tenemos alguna función $f$. Supongamos que en alguna aplicación práctica necesitamos que el valor de $f$ esté cerca de algún valor $y$ con un margen de error que llamamos $\epsilon$. Entonces necesitamos $|f-y|<\epsilon$. Controlamos la salida de $f$ variando un poco el $x_0$. Ahora supongamos que conocemos el valor exacto $f(x_0)=y$. Pero en la práctica es difícil (probablemente imposible) conseguir $x=x_0$ exactamente. Así que necesitamos saber que si podemos controlar $x$ lo suficientemente bien, nuestro error $|f-y|$ no excederá epsilon, sin importar qué epsilon elijamos. También necesitamos saber qué tan estricto debe ser ese control. La precisión del control de $x$ para garantizar que podemos controlar $f$ es exactamente $\delta$. Si el error en $x$ excede $\delta$, podríamos estar bien, pero también podríamos tener problemas.
Lo que quieres es que $f(x)$ esté cerca de $f(y)$ siempre que $x$ esté cerca de $y. Realmente no te importa si $f(x)$ está cerca de $f(y)$ si $x$ y $y$ están lejos.
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