Si $f^{\prime \prime} (x) \geq c > 0$ en $[0, \infty )$ entonces $f$ no tiene límites

Question

Supongamos que existe una constante c > 0 tal que $f''(x) \geq c$ para todos $x \geq 0$ . Demostrar que $f(x)$ no es acotado por encima en $[0,\infty)$ .

Mi idea es muy sencilla. Como la segunda función derivada es siempre positiva, eso significa que la primera función derivada sigue aumentando. Esto significa que nuestra $f(x)$ debe ser cada vez mayor (más pronunciada). Por lo tanto, $f(x)$ no puede ser acotado.

Pero, ¿cómo se puede dar una prueba rigurosa?

Answer 1

Tienes algunas ideas correctas, pero debes tener cuidado. Considere $f(x) = e^{-x}$ . La segunda derivada $f''(x) = e^{-x}$ es siempre positiva, y la primera derivada $f'(x) = -e^{-x}$ está aumentando. Sin embargo, $f(x) = e^{-x}$ no es "cada vez mayor (cada vez más empinada)", y de hecho $f(x) = e^{-x}$ está limitada por encima por $1$ en $[0,\infty)$ . Así que tendrás que usar más información dada en el problema para demostrar que $f(x)$ no puede ser acotado por encima de $[0,\infty)$ .

Para demostrar el teorema de forma rigurosa, se puede utilizar el teorema fundamental del cálculo para obtener una cota inferior de la derivada de la función: $$f'(y) = f'(0)+\displaystyle\int_{0}^{y}f''(z)\,dz \ge f'(0)+\displaystyle\int_{0}^{y}c\,dz = cy+f'(0).$$ A continuación, vuelve a utilizar el teorema fundamental del cálculo para obtener una cota inferior de la propia función: $$f(x) = f(0)+\int_{0}^{x}f'(y)\,dy \ge f(0)+\int_{0}^{x}(cy+f'(0))\,dy \ge \ \ldots.$$ Por último, utilice esto para demostrar que para cualquier $M > 0$ existe un $x \in [0,\infty)$ tal que $f(x) > M$ .