Ejemplo de un conjunto compacto que no es el espectro de un operador

Question

Esta pregunta está algo mal planteada (debido a la palabra fácil) y surge por curiosidad:

¿Existe un ejemplo fácil de un espacio de Banach $X$ (separable, de dimensión infinita) y un conjunto compacto no vacío $K \subset \mathbb{C}$ tal que $K$ no sea el espectro de un operador lineal acotado $T: X \to X$?

Dado que no tengo conocimientos más allá de lo más básico en geometría de espacios de Banach, pido disculpas si las siguientes notas no captan completamente el punto. Las añado para dar algo de contexto y aclarar lo que considero "fácil":

Notas:

• Si $X$ es un espacio de Hilbert (o más generalmente, si $X$ admite una base incondicional $\{e_{n}\}$), es fácil construir un operador diagonal con espectro $K$ eligiendo un subconjunto denso numerable $\{\lambda_{n}\} \subset K$ y dejando que $T$ sea el operador diagonal que envíe $\sum x_n e_n$ a $\sum (\lambda_n x_n)e_n$.

• Ejemplos estándar de espacios sin una base incondicional son $L^1[0,1]$ y $C[0,1]$. Creo que me convencí de que en ambos casos cualquier conjunto compacto no vacío de $\mathbb{C}$ surge como el espectro de un operador, por lo que estos candidatos obvios no parecen responder a mi pregunta. (Si esto estuviera equivocado, ¡por favor avísenme!)

• Variantes del espacio Gowers-Maurey y del espacio Argyros-Haydon ofrecen ejemplos en los que el espectro $K$ debe ser numerable con a lo sumo un punto de acumulación. Consulte el blog de Gowers para obtener más información al respecto. En el caso del espacio Argyros-Haydon, es fácil verlo por la motivación misma de su construcción: tiene la propiedad notable de que un operador lineal acotado es de la forma $\lambda \cdot \operatorname{id} + C$, donde $C$ es compacto (resolviendo así el problema escalar-más-compacto que ha existido durante mucho tiempo).

• Hace unas semanas hice una versión de esta pregunta en math.SE pero hasta ahora no ha recibido respuestas. A la luz de los comentarios esclarecedores de Robert Israel y Jonas Meyer que recibí allí, la actualicé un poco.

• La pregunta actual está relacionada con la pregunta de Pietro Majer ¿Espacios de Banach con pocos operadores lineales? aquí en MO. Consulté el capítulo de Maurey Espacios de Banach con pocos operadores en el Manual de la geometría de espacios de Banach Vol. 2, Elsevier 2003, (Johnson, Lindenstrauss, eds) pero los ejemplos discutidos allí están mucho más allá de lo que consideraría fácil.

• Es posible (dado que soy bastante ignorante en este tema) que el nivel de dificultad de un ejemplo deba ser comparable al de la construcción del espacio Gowers-Maurey o incluso del espacio Argyros-Haydon, así que si hay una razón convincente que apunte en esta dirección, por favor házmelo saber.

Answer 1

No sé si esta pregunta sigue siendo interesante para alguien, pero en 2008 Argyron y Haydon construyeron en "A hereditarily indecomposable L-space that solves the scalar-plus-compact problem. Acta Math. 206 (2011), no. 1, 1–54" un espacio de Banach de dimensión infinita en el que cada operador es la suma de un operador compacto y un múltiplo de la identidad. Dado que el espectro de los operadores compactos consiste en una secuencia de puntos que solo se acumulan en cero y una perturbación escalar solo traduce este espectro, creo que este tipo de espacio es bastante adecuado para tu pregunta. Simplemente toma un conjunto compacto conectado $K$ que no sea un singleton y no podrás tener operadores $T$ con $\sigma(T) = K$. Además, es suficiente con que tu conjunto compacto tenga dos o más puntos de acumulación para tener esta propiedad.

Es interesante mencionar que una de las otras "aplicaciones" que tiene este espacio es resolver una conjetura sobre el problema de los subespacios invariantes. Según el teorema de Lomonosov, cada operador compacto tiene un subespacio hiperinvariante no trivial, por lo que toda perturbación escalar de un operador compacto también tiene un subespacio hiperinvariante. Este es el primer ejemplo no trivial de un espacio de dimensión infinita en el que cada operador tiene un subespacio hiperinvariante no trivial.