Dejemos que $R = \mathbb{R}[X,Y]$ y que $\succcurlyeq$ sea un ordenamiento monomial en $M(X,Y)$ . Sea $I$ sea el ideal $\left<X^3, X^2Y,XY^2,Y^3\right>$ . ¿Por qué no puede $I$ tienen una base de Grobner que consiste en $3$ ¿elementos?
No tengo ni idea de por dónde empezar. ¿Tiene algo que ver con el algoritmo Buchberger o?
Se agradece cualquier ayuda.
El ideal $I$ es un ideal monomial, esto significa que los generadores forman una base de Gröbner. Ningún generador es divisible por ninguno de los otros generadores. Así, $\{X^3, X^2Y, XY^2, Y^3\}$ es una base mínima de Gröbner.
Una base monomial mínima $B = \{b_1, \dots ,b_k\}$ de un ideal monomial $I$ es único. ¿Puede probarlo?
Pista: Supongamos que existe una segunda base monomial mínima $B'$ . Utilice el hecho de que un monomio $m$ está en $I$ si y sólo si $m$ es divisible por $b_i$ para algunos $i \in \{1, \dots, k\}$ para demostrar que $B \subseteq B'$ . Al intercambiar $B$ et $B'$ se obtiene entonces la igualdad de las bases.
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