Pregunta sobre una prueba en Iwaniec Kowalski ' libro de teoría analítica del número de s

Question

Mi pregunta es sobre el final de la prueba del teorema 1.1, en la página 27.

Es decir, se afirma que cuando tenemos una función multiplicativa $f:\mathbb{N} \to \mathbb{C},$ dejar que la secuencia de $\Lambda_{f}(n)$ ser definidos a través de la serie de Dirichlet $$-\frac{D'_{f}(s)}{D_{f}(s)}=\sum_{1}^{\infty}\Lambda_{f}(n)n^{-s}$$ where $D_{f}=\sum_{1}^{\infty} f(n) n^{-s}$ is the Dirichlet series of $f(n).$ Now let's suppose that $$\sum_{n\leq x}\Lambda_{f}(n)=k \log{x}+O(1) $$ para algunas constantes $k>-\frac{1}{2}$ y $$\sum_{n \leq x}|f(n)| \ll (\log x)^{|k|}$$

El hecho de que yo no soy capaz de justificar es que bajo estos supuestos el siguiente producto infinito $$ \prod_{p}(1-p^{-s-1})^{k}\left(\sum_{\nu=0}^{\infty}f(p^{\nu})p^{-\nu s}\right)$$ has the following limit as $s \a 0$ from the right $$\prod_{p}(1-p^{-1})^{k}\left(\sum_{\nu=0}^{\infty}f(p^{\nu})\right) $$

Alguna sugerencia sobre que ?

Answer 1

Observe que $\prod_{p\leq\\z}(1-p^{-1})^{k}\left(\sum_{\nu=0}^{\\r}f(p^{\nu})\right) \leq O((\log z)^{-k})\left(\sum_{n\leq\\x}f(n)\right)$, donde $\\n\leq\ x$ es elegido por consiguiente a $\\z\geq\ p$. Por lo tanto, dejar $\\x,z\to \infty$ podemos observar que el producto es convergente. Ahora, $\prod_{p}(1-p^{-s-1})^{k}\left(\sum_{\nu=0}^{\infty}f(p^{\nu})p^{-\nu s}\right) = D_f(s)/(\zeta(s+1))^k$que es absolutamente bien para $\\Re(s)>0$, también $D_f(s)/(\zeta(s+1))^k$de % de % de % es analítica en $s=0$ marcando límite (no que poste allí). Por lo tanto, por hechos bien conocidos de análisis complejo dejar $\\s\to\ 0+$ obtenemos el resultado.