¿Implica la media = mediana que una distribución unimodal es simétrica?

Question

Para una distribución unimodal, si la media = la mediana, ¿es suficiente decir que la distribución es simétrica?

Wikipedia dice en relación entre la media y la mediana:

"Si la distribución es simétrica, entonces la media es igual a la mediana y la distribución tendrá una asimetría nula. Si, además, la distribución es unimodal, entonces la media = la mediana = la moda. Este es el Este es el caso del lanzamiento de una moneda o de las series 1,2,3,4,... Sin embargo, hay que tener en cuenta que la lo contrario no es cierto en general, es decir, la asimetría cero no implica que la media sea igual a la mediana".

Sin embargo, no es muy sencillo (para mí) obtener la información que necesito. Cualquier ayuda, por favor.

Answer 1

He aquí un pequeño contraejemplo que no es simétrico: -3, -2, 0, 0, 1, 4 es unimodal con moda = mediana = media = 0.

Edición: Un ejemplo aún más pequeño es -2, -1, 0, 0, 3.

Si quieres imaginar una variable aleatoria en lugar de una muestra, toma el soporte como {-2, -1, 0, 3} con función de masa de probabilidad 0,2 en todos ellos excepto en el 0, donde es 0,4.

Answer 2

Esto empezó como un comentario pero se alargó demasiado; decidí convertirlo en una respuesta.

La buena respuesta de Alexis aborda la cuestión inmediata (en resumen: i. que lógicamente ${A\implies B}$ no significa $B\implies A$ ; y ii. la afirmación inversa es realmente falsa en general), y Silverfish da contraejemplos.

Me gustaría tratar algunas cuestiones adicionales y señalar algunas respuestas extensas ya aquí que están relacionadas en cierta medida.

1. La afirmación de la página de Wikipedia que citas tampoco es estrictamente cierta. Consideremos, por ejemplo, la distribución de Cauchy, que es ciertamente simétrica respecto a su mediana, pero que no tiene una media. La afirmación necesita un calificativo como "siempre que la media y la asimetría sean finitas". Incluso si lo reducimos a la afirmación más débil de la primera mitad de la primera frase, sigue necesitando "siempre que la media sea finita".

2. Tu pregunta confunde en parte la simetría con la asimetría cero (supongo que te refieres a la asimetría del tercer momento, pero se podría escribir una discusión similar para otras medidas de asimetría). Tener 0 asimetría no implica simetría. La última parte de tu cita y la sección de Wikipedia citada por Alexis lo mencionan, aunque la explicación dada en la segunda cita podría ser modificada.

Esta respuesta muestra que la relación entre la asimetría del tercer momento y la dirección de la relación entre la media y la mediana es débil (la asimetría del tercer momento y la asimetría del segundo momento de Pearson no tienen por qué coincidir).

Punto 1. en esta respuesta da un contraejemplo discreto, similar pero diferente al dado por Silverfish.

Edición: Por fin he desenterrado el ejemplo unimodal que buscaba antes.

En esta respuesta Menciono a la siguiente familia:

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) [1 -\alpha \sin(x^{1/4})]$

Tomando dos miembros específicos (digamos las densidades azul y verde en el ejemplo específico en esa respuesta enlazada, que tienen $\alpha=0$ y $\alpha=\frac{_1}{^2}$ respectivamente), y volteando una sobre el eje x y tomando una mezcla 50-50 de las dos, obtendríamos una densidad asimétrica unimodal con todos los momentos Impares nulos:

(las líneas grises muestran la densidad azul invertida en torno al eje x para que la asimetría sea evidente)

Whuber da otro ejemplo aquí con asimetría cero que es continua, unimodal y asimétrica. He reproducido su diagrama:

que muestra el ejemplo y el mismo volteado sobre la media (para mostrar claramente la asimetría) pero deberías ir a leer el original, que contiene mucha información útil.

[Respuesta de Whuber aquí da otra familia de distribuciones continuas asimétricas con todos los mismos momentos. Haciendo el mismo truco de "elegir dos, voltear uno y tomar una mezcla 50-50" tiene el mismo resultado de asimétrica con todos los momentos Impares cero, pero creo que no da resultados unimodales aquí (aunque tal vez hay algunos ejemplos)].

La respuesta aquí discute la relación entre la media, la mediana y la moda.

Esta respuesta discute las pruebas de hipótesis de simetría.

Answer 3

No.

Si, además, la distribución es unimodal, entonces la media = mediana = moda.

Del mismo modo que "Si el animal bebé es una gallina, entonces su origen es un huevo" no implica que "Si el origen es un huevo, entonces el animal bebé es una gallina".

Del mismo artículo de Wikipedia:

En los casos en los que una cola es larga pero la otra es gorda, la asimetría no obedece a una regla simple. Por ejemplo, un valor cero indica que las colas a ambos lados de la media se equilibran, lo que ocurre tanto en el caso de una distribución simétrica como en el de las distribuciones asimétricas, en las que las asimetrías se igualan, por ejemplo, cuando una cola es larga pero delgada y la otra es corta pero gorda.

Answer 4

Los ejemplos interesantes y fáciles de entender provienen de la distribución binomial.

Aquí están las probabilidades binomiales para 0(1)5 aciertos en 5 ensayos cuando la probabilidad de éxito es 0,2. Es inmediato que la media es 0,2 $\times$ 5 $=$ 1, que la inspección de las probabilidades confirma como también la mediana y la (única) moda, pero la distribución no es claramente simétrica. Naturalmente, hay muchos otros ejemplos de binomios sesgados cuya media es un número entero positivo.

            1        2
    +-------------------+
  1 |       0   .32768  |
  2 |       1    .4096  |
  3 |       2    .2048  |
  4 |       3    .0512  |
  5 |       4    .0064  |
  6 |       5   .00032  |
    +-------------------+

El código de Stata para esta visualización fue mata : (0..5)' , binomialp(5, (0..5), 0.2)' y es de suponer que es igual de sencillo o más sencillo en cualquier software estadístico que se precie.

Como cuestión de psicología más que de lógica, este ejemplo no puede ser descartado de forma convincente como patológico (como en otros problemas se podrían descontar distribuciones para las que ciertos momentos ni siquiera existen) o como un ejemplo extraño o trivial inventado para el propósito (como por ejemplo los datos inventados descritos por @Silverfish o 0, 0, 1, 1, 3).

Answer 5

Esta respuesta sigue la misma idea que la de Glen B, pero con una historia y unos ejemplos visuales ligeramente diferentes

Tanto la mediana como la media son medidas que pueden considerarse como la división de una distribución en dos partes que tienen igual peso en ambos lados.

Para la media y la mediana, estas ponderaciones en ambos lados son medidas diferentes. Consideran distintas medidas absolutas momentos parciales . Ambas son integrales de la diferencia absoluta $|x-m|$ pero con poderes diferentes.

Distribuciones simétricas

Para las distribuciones simétricas, estos dos lados son automáticamente iguales cuando la división se hace en el plano de simetría.

Funciona igual para la media que para la mediana que son integrales de un lado izquierdo y un lado derecho que se hacen iguales si los dos lados tienen la misma forma.

Así que el punto del plano de simetría es igual a la media y es igual a la mediana. Y la mediana y la media serán iguales (pero no necesito que esta simetría sea igual)

Distribuciones asimétricas

Para la distribución asimétrica, no necesitamos tener automáticamente que el plano divisorio para la mediana (dando pesos iguales de probabilidad en ambos lados) sea también el plano divisorio para la media (dando pesos iguales de distancia media en ambos lados), y viceversa.

También es muy típico que las distribuciones asimétricas tengan media y varianza desiguales.

El único contraejemplo entre las distribuciones asimétricas comunes que me viene a la mente es la distribución binomial donde $np$ es un número entero y $p \neq 0.5$ (un ejemplo trabajado está en la respuesta de Nick Cox con $n=5$ et $p=0.2$ ) tal que la mediana y la media son iguales mientras que la distribución es asimétrica.

Para las distribuciones continuas, no conozco una distribución común que es asimétrico y tiene la misma media y mediana.

Sin embargo, no es difícil construir un contraejemplo. Lo único que se necesita es transformar una distribución y escalar adecuadamente las distancias de los lados izquierdo y derecho de forma que tengan tanto la misma masa como la misma distancia media.

A continuación se presenta un contraejemplo en el que tenemos una distribución hipotética que está compuesta por una mezcla igual al cincuenta por ciento de dos distribuciones, en el lado derecho a $\chi^2$ -y a la izquierda una distribución de Weibull. Seleccionando los parámetros de estas distribuciones de forma que las medias sean iguales, se consigue que este lado izquierdo y derecho tengan los mismos pesos.

La distribución es obviamente asimétrica, pero ambos lados tienen el mismo momento parcial absoluto 0 y 1, es decir, ambos lados tienen el 50% de la masa de probabilidad y la distancia media absoluta del centro es 5.

En este sentido, la pregunta se parece un poco a "¿Es posible tener distribuciones con formas diferentes pero con la misma media?".

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Unimodal

Edición: Se me pasó la especificación "unimodal". Para conseguirlo podemos hacer el mismo truco y utilizar una distribución de mezcla. Pero esta vez necesitamos que ambos lados tengan también la misma moda. Para encontrar este ejemplo tomé tres distribuciones con cada una una media igual a 1 (distribución exponencial, distribución semilogística escalada por $log(4)$ , distribución seminormal escalada por $\sqrt{2/\pi}$ ) y sumar dos de ellos para obtener la misma altura de pico.