¿La convergencia en probabilidad implica la convergencia a.s. en un espacio contable?

Question

Dejemos que $(\Omega, \mathcal F,\mathbb P)$ sea tal que $\Omega$ es contable. Estoy tratando de encontrar un ejemplo simple de variables aleatorias $X_n$ que convergen en $0$ en probabilidad pero no en a.s.

Si $\mathcal F = 2^{\Omega}$ (es decir, $\{\omega\} \in \mathcal F$ para cada $\omega$ desde $\Omega$ es contable), se demuestra que aquí que tales variables aleatorias no existen. Pero ahora sólo suponemos (por supuesto) que el $X_n$ son medibles.

Este es esencialmente la misma (pero la medida no tiene por qué ser finita).

Answer 1

$\newcommand{\NN}{\mathbb{N}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} $ Muy buena pregunta; creo que he conseguido demostrar que no existe tal contraejemplo, es decir, que la hipótesis $\cF = 2^{\Omega}$ no es necesario. Más precisamente,

Propuesta : Dejemos que $(\Omega, \cF, \mathbb{P})$ sea un espacio de probabilidad contable. Entonces la convergencia en probabilidad implica una convergencia casi segura.

Dado un contable $\Omega$ y un $\sigma$ -Álgebra $\cF$ definan una relación de equivalencia $\sim$ en $\Omega$ como sigue: escribimos $\omega_1 \sim \omega_2$ si, para cada $A \in \cF$ , $\omega_1 \in A \Leftrightarrow \omega_2 \in A$ .

Dejemos que $A_\omega$ denotan la clase de equivalencia de $\omega \in \Omega$ . Afirmamos que $A_\omega \in \cF$ pero ningún subconjunto propio de $A_\omega$ está en $\cF$ . Para ver esto, para cada $\alpha \notin A_\omega$ dejar $B_\alpha \in \cF$ sea tal que $\alpha \in B_\alpha$ pero $\omega \notin B_\alpha$ . Entonces $$A_\omega = \left(\bigcup_{\alpha \in \Omega \setminus A_\omega} B_\alpha\right)^c \in \cF,$$ porque la unión es contable. A partir de la definición de $\sim$ se deduce que ningún subconjunto adecuado de $A_\omega$ está en $\cF$ .

Lema : Cada $A \in \cF$ es una unión disjunta (finita o contable) de clases de equivalencia.

Prueba: Dejemos que $A \in \cF$ . Si $\omega \in A$ entonces, por definición, tenemos $A_\omega \subset A$ para que $\bigcup_{\omega \in A} A_\omega \subset A$ , lo que implica el resultado.

Corolario : Una variable aleatoria $X$ es constante en cada clase de equivalencia $A_\omega$ .

Prueba : Para cada valor $k$ , $X^{-1}(k) \in \cF$ y, por tanto, es una unión de clases de equivalencia.

Ahora sólo hay que adaptar la prueba dada aquí como si cada clase de equivalencia fuera un singleton, y se obtiene el resultado.