Cierre separable de $k(Y)$ sur $k(X)$

Question

Dejemos que $k $ ser un campo no perfecto y $\operatorname{char}(k)=p>0$ . Sea $a \in k \setminus k^{p}$ . Sea $Y=\dfrac{X^{p^2}}{X^p+a}$ . Demostrar que $[k(X):k(Y)]=p^2$ y el cierre separable de $k(Y)$ sur $k(X)$ es $k(X^p)$ .

En primer lugar, he utilizado el polinomio $P=T^{p^2}-yT^p-ya$ Pero, ¿cómo se puede demostrar que $P$ es irreducible? Creo que en el teorema de Luroth.

Answer 1

Como $X$ es una raíz del polinomio $P(T)=T^{p^2}-YT^p-Ya \in k(Y)[T]$ tenemos $[k(X):k(Y)] \le p^2$ . $Y$ es trascendental sobre $k$ como de lo contrario $X$ sería algebraico sobre $k$ . Esto implica que $k[Y]$ es un dominio de factorización único .

$Y$ es irreducible en $k[Y]$ y $Y^2$ no divide $Ya$ . Podemos aplicar El criterio de Eisenstein para concluir que $P$ es irreducible sobre $k[Y]$ y también sobre $k(Y)$ según Lema de Gauss . Finalmente $[k(X):k(Y)] = p^2$ y $P$ es el polinomio mínimo de $X$ en $k(Y)$ .

Denote $K = k(Y)$ . El cierre separable $K_s$ de $K$ sur $k(X)$ es el conjunto de elementos de $k(X)$ que son separables sobre $K$ . Es una extensión separable de $K$ tal que $K \subset K_s \subset k(X)$ . De hecho $K_s \neq k(X)$ como $X$ es inseparable sobre $K$ como la derivada de $P$ es igual a cero. Por lo tanto, $[K_s : K]$ pertenece a $\{1, p \}$ mientras se divide $p^2$ y no es igual a $p^2$ .

De forma similar a la anterior, podemos demostrar que el polinomio $Q(T)=T^p-YT-Ya \in K[T]$ es irreducible sobre $K$ . $X^p$ es una raíz separable de $Q$ como $Q'(T)=-Y \neq 0$ . Por lo tanto, tenemos $k(X^p) \subset K_s$ y finalmente $K_s=k(X^p)$ como $[k(X^p):k(Y)]=p$ .