Cómo era la fórmula del área de un círculo ( $A = \pi r^2$ ) derivados antes de la introducción del cálculo?

Question

¿Cómo derivaron los matemáticos anteriores a la llegada del cálculo el área del círculo a partir de cero, sin utilizar el cálculo?

La zona, $A$ de un círculo es $\pi r^2$ . Radio dado $r$ , diámetro $d$ y la circunferencia $c$ por definición, $\pi := \frac cd$ .

Answer 1

El zona es un concepto muy propio del Cálculo. En este sentido encontrar el área de algo sin usar el Cálculo es casi un oxímoron, pero podemos tener una noción intuitiva (y no demasiado general) del área basándonos en los siguientes puntos:

1. Cualquier rectángulo merece un área (es decir, es un conjunto medible) y el área de un rectángulo $R$ con longitudes de lado $a,b,a,b$ es $\mu(R)=ab$ ;
2. Los conjuntos medibles isométricos tienen la misma área y si una línea divide algún conjunto medible $R$ en dos componentes $R_1,R_2$ entonces $R_1,R_2$ son medibles y $\mu(R_1)+\mu(R_2)=\mu(R)$ . Esto fija el área de los paralelogramos, triángulos y polígonos acotados;
3. No todos los subconjuntos compactos de $\mathbb{R}^2$ es un polígono, por lo que queremos ampliar la noción de mensurabilidad de la siguiente manera: dado $K$ un subconjunto compacto y conexo de $\mathbb{R}^2$ definimos $\mathcal{I}$ como la familia de polígonos contenidos en $K$ , $\mathcal{E}$ como la familia de polígonos que contiene $K$ . Si $$\sup_{P\in\mathcal{I}} \mu(P) = \inf_{P\in\mathcal{E}}\mu(P) = L$$ decimos que $K$ es medible y definir su área como $\mu(K)=L$ .

Nótese que 1.,2.,3. no permiten medir conjuntos no limitados como $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x\geq 0, 0\leq y\leq\frac{1}{(x+1)^2}\}$ o subconjuntos de $\mathbb{R}^2$ con componentes conectados contables, como $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{(x,y): (x-n)^2+y^2\leq \frac{1}{(n+1)^3}\}$ .
Aún así, podemos utilizar esta noción ingenua de área para calcular el área del círculo unitario. Considerando los polígonos regulares en $\mathcal{I}$ y $\mathcal{E}$ tenemos $$\mu\left(\{(x,y):x^2+y^2\leq 1\right) = \sup_{n\geq 3}n\cdot\sin\frac{\pi}{n} = \inf_{n\geq 3}n\cdot\tan\frac{\pi}{n}=\pi$$ por lo que el área del círculo unitario es justo la mitad de la longitud de su límite y $\pi\in(3,4)$ se deduce del hecho de que

Si $A,B$ son dos conjuntos convexos y acotados en $\mathbb{R}^2$ y $A\subsetneq B$ La longitud de $\partial A$ es menor que la longitud de $\partial B$ . (ver también esta pregunta )

Una aproximación geométrica de tipo arquimediano para la aproximación numérica de $\pi$ es la siguiente: un círculo de radio $1$ puede descomponerse como la unión de un octógono de lado $\sqrt{2-\sqrt{2}}$ y ocho segmentos circulares . Estos segmentos pueden ser aproximados por segmentos parabólicos, cuya área es simplemente $\frac{2}{3}\text{base}\cdot\text{height}$ . Los segmentos parabólicos son ligeramente más pequeños que los correspondientes segmentos del círculo, de ahí la siguiente construcción

conduce al límite inferior $$\pi > \frac{16}{3}\sqrt{2-\sqrt{2}}-\frac{2}{3}\sqrt{2}= 3.13914757\ldots$$ cuya precisión es comparable con la aproximación arquimediana real $\pi\leq\frac{22}{7}$ . El método parabólico aplicado al dodecágono regular conduce a la bonita cota $$\pi > 4\sqrt{6}-4\sqrt{2}-1 = 3.1411\ldots$$ lo que también explica la proximidad entre $\pi$ y $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ .

Una noción más amplia de zona proviene de la definición de la integral de Riemann/Lebesgue y de la definición del área de $K\subset\mathbb{R}^2$ como $$\mu(K) = \iint_{\mathbb{R}^2}\mathbb{1}_K(x,y)\,dx\,dy$$ siempre que el RHS tenga sentido. 1,2,3 se cumplan, y esto también nos permite medir los conjuntos problemáticos anteriores. Además, esto nos da nuevas formas de aproximar $$\pi=4\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx = 6\arcsin\frac{1}{2} = 3\sum_{n\geq 0}\frac{\binom{2n}{n}}{16^n(2n+1)}=3+\frac{1}{8}+\frac{9}{640}+\left(0\leq\varepsilon\leq 3\cdot 10^{-3}\right)$$ también a través de $$\frac{1}{5\cdot 4^8}\approx\int_{0}^{1}\frac{x^8(1-x)^8}{1+x^2}\,dx=4\pi-\frac{188684}{15015}.$$

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Mejorar la respuesta: ¿por qué es suficiente con estudiar la unidad ¿Círculo? Porque un círculo es altamente simétrico, os aplicando una dilatación con factor $\lambda>0$ la superficie se multiplica por $\lambda^2$ y la longitud del límite se multiplica por $\lambda$ (la propiedad fundamental de los mapas afines es que preservan la relación de áreas). En particular, si el área del círculo unitario es $\beth$ el área de un círculo de radio $R$ es $\beth R^2$ .

¿Cómo se relaciona esto con la longitud del límite? Mediante la convexidad. Si consideramos el anillo entre dos círculos concéntricos con radios $R$ y $R+\varepsilon$ el área del anillo dividida por $\varepsilon$ tiende a la longitud del límite del círculo interior como $\varepsilon\to 0^+$ . En particular, si $\beth R^2$ es el área del círculo de radio $R$ la longitud de su frontera viene dada por $$\frac{d}{dR}\beth R^2 = \color{red}{2\beth}R.$$

Answer 2

Método Monte Carlo.

Elige un x/y al azar lanzando muchos dados. Asegúrate de que los puntos caen aleatoriamente en un cuadrado de anchura igual al diámetro del círculo. Repite la operación muchas veces, o hasta que estés satisfecho, muy aburrido, o hasta que la hora feliz y los martinis estén en el Casino (de ahí el método "Montecarlo". Es justo el 1 de abril).

Toma el cociente entre los puntos que caen dentro del círculo y los que caen fuera. Observa cómo a medida que aumenta el número de puntos aleatorios, la proporción converge en una cantidad determinada.

Answer 3

Como dos círculos son similares, sus áreas son proporcionales a los cuadrados de sus radios. Ahora el área de un círculo de radio $1$ es el factor proporcional, simplemente llámalo $\pi$ .

Adenda. Si insiste en la definición habitual de $\pi$ es decir, la relación entre la circunferencia y el diámetro, dudo que no haya conexión con mi planteamiento sin un argumento infinitesimal, es decir, el cálculo.

Un buen enfoque sería definir una discreta $\pi_n$ por cada regularidad $n$ -gon, a saber $\pi_n:=n\cdot\tan(\pi/n)$ que es la relación entre el $n$ -la circunferencia de un polígono a su diámetro. (Aquí el radio $r_n$ se define por la distancia del $n$ -del centro del polígono a uno de sus lados).

En ese caso, la zona $A_n=\pi_n\cdot r_n^2$ y la circunferencia es $2\pi_n\cdot r_n$ .

De aquí vemos que si el factor proporcional para el área es $\pi_n$ el factor de la circunferencia $2\pi_n$ . Eso es cierto para $n$ - de la parte superior.

Pero, ¿cómo demostrarlo sin el cálculo de los círculos?

Sé que hay algunas curvas cuyas longitudes se pueden calcular de forma puramente algebraica, como la parábola de Neil $t\mapsto(t^2,t^3)$ . Pero no conozco una forma algebraica para el círculo. Dado que una rectificación puramente algebraica se creía imposible desde Aristóteles, supongo que no hay ninguna para el círculo.

Answer 4

1. Consigue dos hojas grandes de papiro con un grosor uniforme
2. Corta un círculo de radio unitario de una, y un cuadrado unitario de la otra
3. Medir el peso de cada forma
4. De su relación se obtiene el área del círculo

Answer 5

Por ensayo y error y por aproximaciones numéricas. Los antiguos matemáticos (babilonios, 1800 a.C.) intentaron cuadrar un círculo (aproximar el área del círculo con un cuadrado, construyendo un cuadrado con la misma área que un círculo, resultó imposible en 1882 d.C.), para calcular $\sqrt{2}$ , $\pi$ etc.

El cálculo preciso del área del círculo requiere un análisis infinitesimal (cálculo).