Cómo era la fórmula del área de un círculo ( $A = \pi r^2$ ) derivados antes de la introducción del cálculo?

Question

¿Cómo derivaron los matemáticos anteriores a la llegada del cálculo el área del círculo a partir de cero, sin utilizar el cálculo?

La zona, $A$ de un círculo es $\pi r^2$ . Radio dado $r$ , diámetro $d$ y la circunferencia $c$ por definición, $\pi := \frac cd$ .

Answer 1

Hay un método interesante con el que se puede encontrar aproximadamente la zona. Divida el círculo en muchos sectores pequeños y dispóngalos como un paralelogramo, como se muestra en la imagen (de wikipedia)

Cuanto mayor sea el número de sectores que tome, más tenderá a un paralelogramo, siendo una de sus alturas el radio $r$ y el otro lado la mitad de la circunferencia $\pi r$ . Por lo tanto, su área tiende a $\pi r \cdot r = \pi r^2$

Answer 2

El cálculo depende del concepto de límite, y lo aplica al problema de determinar el área de un objeto curvo. Pero el concepto de límite y la capacidad de razonar sobre el área de un objeto curvo utilizando ese concepto existían antes del Cálculo.

En lo que respecta a la historia registrada, Arquímedes fue el primero en derivar $A = \pi r^2$ . Aunque no lo llamó $\pi$ Creo que aún podemos decir que esta es la respuesta a su pregunta. Su prueba depende del concepto de límite. Demostró que, dado un círculo, con radio $r$ y la circunferencia $c$ el área de ese círculo no puede ser mayor que la de un triángulo con altura $r$ y la base $c$ y que tampoco puede ser menor que el área de ese triángulo. Lo hizo examinando el área de polígonos con un número creciente de lados, tanto dentro del círculo como fuera de él. Esto implicaba el concepto de límite y el cálculo del área, que parece cálculo, pero no lo es.

Polígonos con número creciente de lados en su interior: Polígonos con número creciente de lados exteriores:

Answer 3

Euclides inicia esto es Libro XII, Prop. 2. , demostrando indirectamente que existe una constante de proporcionalidad entre el área de un círculo y su diámetro. Lo hace mostrando que el área de dos círculos va como el cuadrado de sus diámetros, lo que obliga a esta constante de proporcionalidad entre, en la notación de la Pregunta, $A$ y $r^2$ . Llamemos a esa constante $p$ : $A = p r^2$ . Así, Euclides demuestra que $p$ existe, pero no demuestra que $p$ está relacionada con la relación entre la longitud de la circunferencia y la del diámetro.

El propuesta anterior en ese libro, que las áreas de polígonos similares inscritos en círculos están en la misma proporción que los cuadrados de los diámetros de los círculos, nos da un método para aproximar $p$ desde abajo, utilizando secuencias de polígonos que cubren cada vez más el círculo. Arquímedes utiliza este método (así como el resultado de que un polígono circunscrito contiene toda el área del círculo) para acotar $p$ en su Medición de un círculo . Pero primero, utiliza estos hechos sobre los polígonos inscritos y circunscritos para mostrar $p = \pi$ .

Su primera propuesta es el resultado por el que preguntas: El área de un círculo es igual al área de un triángulo rectángulo con un cateto que tiene la longitud del radio y el otro cateto tiene la longitud de la circunferencia. Es decir, utilizando la definición que das de que la circunferencia es $\pi$ veces el diámetro y también que el diámetro es dos veces el radio, $$A = \frac{1}{2} \cdot r \cdot C = \frac{1}{2} \cdot r \cdot (\pi \cdot 2r) = \pi r^2 \text{,}$$ así que $p = \pi$ .

Arquímedes demuestra este resultado por el método del agotamiento. Es habitual afirmar que este método es de cálculo elemental, pero eso no es del todo correcto. Tal como se utiliza aquí (y en muchos otros lugares), es una aplicación de tricotomía a la la completitud de los reales y es un método más utilizado en el cálculo avanzado y el análisis real. Arquímedes observa que si el área del triángulo no es el área del círculo, debe ser mayor o menor que el área del círculo. Muestra no puede ser mayor, entonces que no puede ser menor. Por lo tanto, el área del triángulo es la misma que la del círculo.

(Usando la completitud de los reales, uno diría esto como: para todo $\varepsilon >0$ el área del triángulo difiere del área del círculo en menos de $\varepsilon$ por lo que es igual al área del círculo. Si imaginamos una secuencia de encogimiento de $\varepsilon$ s, esto da la secuencia anidada de intervalos para el enlace de integridad anterior).

Answer 4

Otra forma de obtener la fórmula del área de un círculo es descomponerlo en varios anillos concéntricos (anillos) para formar un "triángulo", como se ve en el diagrama siguiente. Cuando la anchura de los anillos concéntricos se aproxima a cero, se forma un triángulo de circunferencia base ( $C$ = $\pi$$d$) and height $r$.

Como sabemos que el área de un triángulo es $\frac{bh}{2}$ , por sustitución $$\frac{\pi d\cdot r}{2}$$ Desde $d$ = 2 $r$ , $$A = \frac{\pi \cdot 2r\cdot r}{2} \rightarrow A = \frac{\pi \cdot 2r^2}{2} \rightarrow A = \pi \cdot r^2$$ .

Answer 5

Es fácil pasar del área de un triángulo al área de un polígono regular (uno cuyos lados son todos lados tengan la misma longitud y cuyos ángulos tengan la misma medida) dividiendo el polígono en triángulos y sumando las áreas de los triángulos. Pero primero tenemos que repasar la fórmula del área de un polígono como referencia. Se puede demostrar que todo polígono regular puede inscribirse en una circunferencia. Si trazamos una línea perpendicular desde el centro del círculo a cualquier lado del polígono inscrito, esa línea se llama un apotema. Es un hecho que el área de un polígono regular es $1/2ap$ donde $a$ es el apotema y $p$ es el perímetro del polígono. También es un hecho que a medida que el número de lados de los polígonos regulares inscritos polígonos regulares inscritos, las longitudes de las apotemas de los polígonos se aproximan al radio del círculo.