Sin utilizar la integración ni la calculadora gráfica, traza la gráfica de $y=f(x)$ dado que su derivada es $f'(x)=e^{-x^{2}}$ y $f(0)=0$ .

Question

Con mis escasos conocimientos de cálculo, calculé $\lim\limits_{x\to+\infty} f'(x)=0$ y $\lim\limits_{x\to-\infty} f'(x)=0$ . Basándome en esta información, supuse que el gráfico debe aplanarse para valores extremadamente grandes (ya sean positivos o negativos) de $x$ . Además, $$f''(x)=-2xe^{-x^{2}}$$ A partir de esto, deduje que para $x<0$ la pendiente es creciente, mientras que para $x>0$ la pendiente es decreciente. Dado que $f(0)=0$ y $f'(0)=1$ la gráfica pasa por el origen. Basado en toda esta información, me imaginé que la gráfica se ve así

La única parte que no logré entender es esta:

¿Cómo calcular el valor de las asíntotas horizontales que encierra la gráfica? ¿Se puede hacer esto sin implicar explícitamente la integración?

Answer 1

ACLARACIÓN: Esto está hecho por integración, así que cuéntalo como "información adicional" como se dice en los comentarios.

$$f'(x)=e^{-x^2}$$

$$\int_0^{f(x)} \,d(f(x)) = \int_0^x e^{-x^2}\,dx$$

$$f(x)=\int_0^x e^{-x^2}\,dx$$

La función $y=e^{-x^2}$ debe ser familiar para usted. Es la curva que define la función de distribución normal o gaussiana.

$y=e^{-x^2}$ ">

Veamos primero la integral de $x=-\infty$ a $\infty$ en lugar de $x=0$ a $x$

En $\mathbb{R}^3$ Consideremos dos curvas: $z=e^{-x^2}$ y $z=e^{-y^2}$ .

Ambos se sitúan verticalmente sobre el plano x-y, con sus picos apuntando en la dirección del eje z.

Las dos áreas bajo estas curvas serían iguales: $A=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx$ y $A=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,dy$

Multiplicando los dos se obtiene el volumen de una curva tridimensional en forma de campana, como se muestra arriba (el dibujo de la derecha)

Obtenemos :

$$A^2=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx \times \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,dy$$

Esto da una integral doble anidada:

$$A^2= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy$$

Ahora podemos pasar a las coordenadas polares ( $r,\theta$ ), siendo r el radio vector polar de cualquier punto (x,y)

Veamos esa curva de campana tridimensional como un sólido de revolución creado al girar la curva $z=e^{-r^2}$ que se extiende desde $r=0$ a $r=\infty$ alrededor del eje z, a través de un ángulo igual a $2\pi$ radianes. Tendremos que cambiar los límites de nuestras integrales dobles en consecuencia.

También tendremos que redefinir esa doble integral de $

Answer 2

¿Cómo calcular el valor de las asíntotas horizontales que encierra la gráfica? ¿Se puede hacer esto sin implicar explícitamente la integración?

En otras palabras: evaluar $\int_0^\infty \exp(-x^2)\;dx$ sin integración. Supongo que "sin integración" no permite ni la integración múltiple ni la integración de contornos ni la teoría de residuos. La única forma de hacerlo que se me ocurre es: buscarlo.

---

Relacionado con el método de integración de contornos:

Desbrow, Darrell.

Sobre la evaluación $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{ax(x-2b)}\, dx$ por integración de contornos alrededor de un paralelogramo .

Amer. Math. Monthly $105\, (1998)$ No. $8,\, 726–731$ .