ACLARACIÓN: Esto está hecho por integración, así que cuéntalo como "información adicional" como se dice en los comentarios.
$$f'(x)=e^{-x^2}$$
$$\int_0^{f(x)} \,d(f(x)) = \int_0^x e^{-x^2}\,dx $$
$$f(x)=\int_0^x e^{-x^2}\,dx$$
La función $y=e^{-x^2}$ debe ser familiar para usted. Es la curva que define la función de distribución normal o gaussiana.
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$y=e^{-x^2}$ ">
Veamos primero la integral de $x=-\infty$ a $\infty$ en lugar de $x=0$ a $x$
En $\mathbb{R}^3$ Consideremos dos curvas: $z=e^{-x^2}$ y $z=e^{-y^2}$ .
Ambos se sitúan verticalmente sobre el plano x-y, con sus picos apuntando en la dirección del eje z.
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Las dos áreas bajo estas curvas serían iguales: $A=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx$ y $A=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,dy$
Multiplicando los dos se obtiene el volumen de una curva tridimensional en forma de campana, como se muestra arriba (el dibujo de la derecha)
Obtenemos :
$$A^2=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx \times \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,dy$$
Esto da una integral doble anidada:
$$A^2= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy$$
Ahora podemos pasar a las coordenadas polares ( $r,\theta$ ), siendo r el radio vector polar de cualquier punto (x,y)
Veamos esa curva de campana tridimensional como un sólido de revolución creado al girar la curva $z=e^{-r^2}$ que se extiende desde $r=0$ a $r=\infty$ alrededor del eje z, a través de un ángulo igual a $2\pi$ radianes. Tendremos que cambiar los límites de nuestras integrales dobles en consecuencia.
También tendremos que redefinir esa doble integral de $
$y=e^{-x^2}$ ">
