Probabilidad de obtener un $4$ números consecutivos

Question

Tengo cinco dados para tirar. Los tiro. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga una escalera con exactamente cuatro números consecutivos y no $5$ ?

Hay tres opciones: $1,2,3,4$ o $2,3,4,5$ o $3,4,5,6$ .

Tengo $1,2,3,4,*$ donde $*$ puede ser $1/2/3/4/6$ . No pueden ser cinco. Ahora sí $4!*5$ .

A continuación, tomo $2,3,4,5,*$ donde $*= 2,3,4,5$ . Obtenemos $4!*4$ y $4!*5$ pour $3/4/5/6$ .

Obtengo la probabilidad $(4!*14)/6^5$ pero hay algunas complejidades. ¿Puede alguien explicarlo con claridad? He intentado $4!*5*5$ ya que la posición de * es variable. Ahora, obtengo $(4!*70)/6^5$ lo cual tampoco es correcto.

¿Puede alguien explicarlo sistemáticamente?

Answer 1

Imagina que lanzas los dados de uno en uno y registras los resultados, o lo que es lo mismo, etiquetas los dados de la A a la E y registras los resultados como una cadena de longitud $5$ resultado en A, resultado en B, y así sucesivamente. Hay $6^5$ posibilidades, todas igualmente probables. Ahora contamos las favorables.

La parte "recta" puede ser del tipo $1,2,3,4$ , $2,3,4,5$ o $3,4,5,6$ .

En primer lugar, nos ocupamos del $2,3,4,5$ . Para que no se produzca $5$ en una fila, debemos evitar $1$ y $6$ así que debemos duplicar algo. Qué que duplicamos puede ser elegida en $4$ formas. Para cada una de estas formas, el menor número no duplicado puede ser colocado en $5$ maneras, entonces el segundo más pequeño en $4$ formas, luego la tercera más pequeña en $3$ formas. Ahora el dobleton cae en los espacios restantes. Esto da un total de $(4)(5)(4)(3)=240$ formas de tener $2,3,4,5$ como la parte "recta".

Ahora nos ocupamos de $1,2,3,4$ . Podemos hacer que el otro número sea un $6$ y luego el $5$ Los números se pueden organizar en $5!=120$ formas.

O bien podríamos duplicar uno de nuestros números. Ya hemos analizado esto, y hemos visto que hay $240$ formas de hacerlo. Así que hay $360$ patrones donde la parte recta es $1,2,3,4$ .

Del mismo modo, hay $360$ patrones donde la parte recta es $3,4,5,6$ .

Así que nuestro total es $240+360+360=960$ y la probabilidad requerida es $$\dfrac{960}{6^5}.$$

Answer 2

Como habrán notado, hay $14$ posibles conjuntos múltiples de $5$ números que son "buenos" en su sentido, de contener cuatro números consecutivos pero no cinco números consecutivos. Estos $14$ Los conjuntos múltiples pueden dividirse en dos tipos:

• $12$ de ellos con algún número repetido, a saber: $\{1, 2, 3, 4, 1\}, \{1, 2, 3, 4, 2\}, \{1, 2, 3, 4, 3\}, \{1, 2, 3, 4, 4\}, \{2, 3, 4, 5, 2\}, \{2, 3, 4, 5, 3\}, \{2, 3, 4, 5, 4\}, \{2, 3, 4, 5, 5\}, \{3, 4, 5, 6, 3\}, \{3, 4, 5, 6, 4\}, \{3, 4, 5, 6, 5\}, \{3, 4, 5, 6, 6\}$
• $2$ de ellos con los cinco números distintos, a saber: $\{1, 2, 3, 4, 6\}$ y $\{3, 4, 5, 6, 1\}$ .

Para cada uno de estos dos últimos conjuntos, se puede ordenar en $5!$ formas, por lo que la probabilidad de que se obtenga exactamente ese conjunto múltiple es: $$\frac{5!}{6^5}$$

Para cada uno de los doce primeros conjuntos múltiples, se puede ordenar en $\frac{5!}{2!}$ formas, por lo que la probabilidad de que se obtenga exactamente ese conjunto múltiple es: $$\frac{5!}{2! 6^5}$$

Así que la respuesta que quieres es: $$2\frac{5!}{6^5} + 12\frac{5!}{2! 6^5} = \frac{2(5!) + 6(5!)}{6^5} = \frac{960}{6^5} = \frac{960}{7776} = \frac{10}{81}$$