Prueba de convergencia y puntos de acumulación.

Question

Supongamos que $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ converge a $A$ y $\{a_n: n \in J\}$ es un conjunto infinito. Demuestre que $A$ es un punto de acumulación de $\{a_n: n \in J\}$ .

Hasta ahora he hecho lo básico de la convergencia pero el material de los puntos de acumulación me resulta confuso.

Hasta ahora lo he hecho:

Si $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ converge a $A$ , entonces $\exists \epsilon>0$ , $N \in \mathbb N^+$ tal que $\forall n>=N$ tenemos $|a_n-A| < \epsilon$ .

Sea S= $\{a_n: n \in J\}$ ...?

La definición que intento utilizar es:

Dejemos que $S$ sea un conjunto de todos los números reales. Un número real $A$ es un punto de acumulación de $S$ si cada vecindad de $A$ contiene infinitos puntos de $S$ .

Siento que esto debería ser fácil para mí, pero todavía no está funcionando.

Este problema es el número 24 del Introducción al análisis libro de texto de Edward D. Gaughan

Answer 1

Un punto de acumulación de una secuencia es un concepto más general que un límite. Por ejemplo, la secuencia $+1,-1,+1,-1,...$ no tiene límite, sino dos puntos de acumulación, $\pm 1$ .

(Si prefiere tener puntos distintos, tome la secuencia $+1+\frac{1}{1},-1+\frac{1}{2},+1+\frac{1}{3},-1+\frac{1}{4},...$ )

Piensa en los puntos de acumulación como límites de las subsecuencias. Un punto es un punto de acumulación de una secuencia si se puede encontrar una subsecuencia que converja a ese punto.

Debe quedar claro que si $a_n \to A$ entonces todo Las sucesiones también deben converger a $A$ .

Supongamos que $J$ es un conjunto infinito, y $U$ un conjunto abierto que contiene $A$ . Desde $a_n \to A$ tenemos algunos $N$ tal que $a_n \in U$ para todos $n \ge N$ . Entonces vemos que el conjunto $J'=J \cap \{N,N+1,...\}$ es también infinito (de lo contrario, una rápida contradicción), y para todo $n \in J'$ , $a_n \in U$ . Por lo tanto, $A$ es un punto de acumulación de la subsecuencia $a_n$ , $n \in J$ .