Bien, así que entiendes que $n!/(n-r)!$ es el número de formas de seleccionar $r$ números de $n$ números $\{1,2,\ldots,n\}$ para que el orden de las selecciones cuente (me imagino que también podríamos usar números para el cosas que estamos seleccionando ya que nos proporciona un ejemplo sólido).
Digamos que $\binom{n}{r}$ es el número de formas de seleccionar $r$ números de $n$ números para que el orden no cuente, las llamaremos "selecciones ordenadas". No tenemos una fórmula para $\binom{n}{r}$ todavía, pero sabemos lo que queremos que signifique.
Ahora imagine que hace una lista de los $\binom{n}{r}$ selecciones ordenadas, cada una una combinación única de $r$ números. Además, podemos imaginar que cada selección de $r$ números en nuestra lista de $\binom{n}{r}$ Las selecciones se muestran en orden ascendente, lo que justifica que las llamemos "selecciones ordenadas".
Ahora podemos utilizar nuestra lista de selecciones ordenadas para hacer una lista de selecciones en las que el orden no cuenta, "selecciones desordenadas" para abreviar. Simplemente permutamos las $r$ números en cada selección ordenada y enumerarlos también.
Cada uno de los $\binom{n}{r}$ selecciones ordenadas de $r$ números tiene $r!$ permutaciones distintas, por lo que nuestra nueva lista tiene $r!\binom{n}{r}$ selecciones desordenadas. Pero ya sabemos que esto también es $n!/(n-r)!$ Así que
$$r!\binom{n}{r}=\frac{n!}{(n-r)!}$$ $$\implies \binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$
Ejemplo:
Enumerar todas las selecciones ordenadas de 3 números de $\{1,2,3,4\}$ así que $n=4$ y $r=3$ :
$$\begin{array}{c}(1,2,3)\\(1,2,4)\\(1,3,4)\\(2,3,4)\end{array}$$
Vemos que $\binom{4}{3}=4$ haciendo una lista de estos. Pero el quid de la cuestión es que ahora podemos utilizar cada elección ordenada para enumerar el resto de las selecciones desordenadas permutando los números de cada selección ordenada. Observe que hay $3!=6$ permutaciones de cada selección ordenada (incluida la permutación original de orden ascendente):
$$\begin{array}{cccccc}(1,2,3)&(1,3,2)&(2,1,3)&(2,3,1)&(3,1,2)&(3,2,1)\\(1,2,4)&(1,4,2)&(2,1,4)&(2,4,1)&(4,1,2)&(4,2,1)\\(1,3,4)&(1,4,3)&(3,1,4)&(3,4,1)&(4,1,3)&(4,3,1)\\(2,3,4)&(2,4,3)&(3,2,4)&(3,4,2)&(4,2,3)&(4,3,2)\end{array}$$
Así que $3!\binom{4}{3}$ es el número de selecciones no ordenadas. Sabemos que esto es $4!/(4-3)!$ por lo que, paralelamente al argumento general anterior, tenemos
$$3!\binom{4}{3}=\frac{4!}{(4-3)!}$$
$$\implies \binom{4}{3}=\frac{4!}{3!(4-3)!}$$
Pasar de la primera lista a la segunda equivale a multiplicar el tamaño de la lista por $3!$ . Retroceder de la segunda lista a la primera equivale a dividir el tamaño de la lista por $3!$ . Este principio de multiplicación a la inversa, a veces se denomina principio de división aunque en realidad son una misma cosa.
