Encuentra los vértices del "triángulo" en $P^{2}(R)$ cuyos lados son las líneas proyectivas $P(U_{1})$ , $P(U_{2})$ , $P(U_{3})$ .

Question

Así que $U_{1}$ , $U_{2}$ y $U_{3}$ son los subespacios vectoriales bidimensionales de $R^{3}$ definido por $x_{0}$ =0, $x_{0}$ + $x_{1}$ + $x_{2}$ =0, $3x_{0}$ - $4x_{1}$ + $5x_{2}$ =0 respectivamente. ¿Cuál es la forma de encontrar los vértices del triángulo en $P^2$ (R)? Gracias.

Answer 1

Recordemos que un plano en $\mathbb R^3$ es una línea en $\mathbb P^2(\mathbb R)$ y que una línea en $\mathbb R^3$ es un punto en $\mathbb P^2(\mathbb R)$ .

El avión $x_0 = 0$ en $\mathbb R^2$ corresponde a la línea proyectiva parametrizada por $(0:s:t)$ pour $s,t \in \mathbb R$ . Del mismo modo, el plano $x_0 + x_1 + x_2 = 0$ en $\mathbb R^2$ corresponde a la línea proyectiva $(u:v:-u-v)$ . Así que la intersección de estas líneas es el punto $(0:1:-1)$ y hemos encontrado un vértice de su triángulo.

Del mismo modo, los otros dos vértices se pueden obtener de la misma manera: $(9 : -2 : - 7)$ y $(0 : 5 : 4)$ .