¿Pregunta conceptual sobre las relaciones equivalentes y las biyecciones?

Question

1. ¿Cuál es la correlación entre la relación de equivalencia y la biyección?
2. ¿Es la relación de equivalencia un sinónimo de biyección?
3. ¿La relación de equivalencia implica siempre la existencia de una biyección?

Estaba leyendo la definición 2.3 y 2.4. He sacado en claro que las relaciones equivalentes están relacionadas de alguna manera con las biyecciones.

Answer 1

Yo diría que el fragmento que has citado demuestra una mala pedagogía al introducir un concepto tan importante como las relaciones de equivalencia en un comentario de este tipo.

Lo que dice el extracto es que la "relación" sobre el "conjunto de todos los conjuntos" ( advertencia (no existe tal cosa, por eso uso comillas) definida por $$A\sim B\iff\text{ there exists a bijection }f:A\to B$$ es una relación de equivalencia. Aunque es importante observar esta propiedad, no es en absoluto lo único que hay que decir sobre las biyecciones, ni es el único ejemplo de relación de equivalencia.

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Las relaciones de equivalencia no están relacionadas con las biyecciones.

Dado un conjunto $X$ , a relación en $X$ es un subconjunto $R$ del conjunto $X^2=\{(x,y):x,y\in X\}$ . Decimos que $R$ es un relación de equivalencia si tiene estas propiedades:

1. $(x,x)\in R$ para todos $x\in X$ .
2. $(x,y)\in R$ $\implies$ $(y,x)\in R$
3. $(x,y)\in R$ y $(y,z)\in R$ $\implies$ $(x,z)\in R$

Conjuntos dados $X$ y $Y$ , a biyección de $X$ a $Y$ es una función $f:X\to Y$ con la propiedad de que para todo $y\in Y$ existe exactamente una $x\in X$ tal que $f(x)=y$ . Equivalentemente, $f:X\to Y$ es una biyección si existe una función $g:Y\to X$ tal que $(g\circ f)=\mathrm{id}_X$ y $(f\circ g)=\mathrm{id}_Y$ .

(Si se interpreta una función $f:X\to Y$ como un subconjunto de $X\times Y$ entonces técnicamente se pueden comparar relaciones de equivalencia en un conjunto $X$ con funciones $X\to X$ la única función que es una relación de equivalencia, y la única relación de equivalencia que es una función, es la función identidad $\mathrm{id}_X:X\to X$ .)

Parece que lo que estás pensando son particiones y las relaciones de equivalencia, que son nociones matemáticas equivalentes, como se describe en el "Teorema fundamental de las relaciones de equivalencia" ( Enlace a Wikipedia ).

Answer 2

Lo que estas definiciones dicen es que una relación de equivalencia particular sobre la clase de conjuntos puede ser definida por medio de biyecciones: de manera precisa, los conjuntos $A$ y $B$ son equivalente es que existe una biyección desde $A$ a $B$ .

Pero una relación de equivalencia general es una relación que satisface las tres propiedades que recordó @Zev Cholones. Y efectivamente la equivalencia entre conjuntos definidos con biyecciones (también se llama equipotence ) las satisface todas:

1. $A\sim A$ porque $\operatorname{id}_A$ es trivialmente una biyección.
2. Si $A\sim B$ es decir, si existe una biyección $f\colon A\to B$ entonces $B\sim A$ es decir, existe una biyección $g\colon B\to A$ es suficiente con tomar el recíproco de $f$ que también es una biyección.
3. Si $A\sim B$ y $B\sim C$ entonces $A\sim C$ : En efecto, si $f\colon A\to B$ et $g\colon B\to C$ son biyecciones, entonces $g\circ f\colon A\to C$ es una biyección.