Interpretación geométrica clásica de los espinores

Question

Muchas nociones de la geometría diferencial tienen un significado directo en la física. Por ejemplo:

• Una métrica riemanniana es una forma de codificar las distancias en una variedad y en Física es el campo gravitatorio. La curvatura de la conexión Levi-Civita da la fuerza de la gravitación en un determinado sentido,
• Un director $G$ -la conexión es un objeto que nos permite hacer transportes paralelos convenientemente con respecto a una acción de un determinado grupo de Lie $G$ y en Física es un campo gauge, es decir, un campo que está relacionado con una interacción fundamental, por ejemplo un principal $U(1)$ -conexión puede verse como el campo electromagnético. La curvatura de la conexión da la fuerza del campo, en cierto modo.

Me gustaría tener una interpretación de lo que es un campo espinor (cuando el colector sobre el que trabajamos admite una estructura de espín) en la geometría diferencial clásica, que es una sección del haz espinor. Por geometría diferencial clásica me refiero a las variedades típicas, no a las supermanifestaciones. Esto se debe a que, para mí, los espinores en la teoría de los supermanifolds, juegan un papel diferente, ya que en cierto modo son "coordenadas del espaciotiempo impar". Me interesa la geometría de los campos clásicos: un campo espinor representa la "materia" (fermiones) mientras que los campos gauge (es decir, las conexiones principales) representan las "fuerzas" (bosones). Pero esto es Física. Me interesa una interpretación matemática como:

• Métrica riemanniana = campo gravitatorio = forma de medir las distancias,
• Conexión principal = campo de calibre = una forma de hacer transporte paralelo,
• Campo espinor = campo de materia = ¿qué en matemáticas?

Así que mis preguntas son:

En la geometría diferencial clásica (es decir, en las variedades ordinarias), ¿cómo podemos interpretar geométricamente los campos espinores? ¿Cómo podemos interpretar la conexión de espín y su curvatura?

Gracias.

EDIT : En un comentario más abajo decía que la geometría del espinor tiene una importancia fundamental para el teorema de Atiyah-Singer. Así que quizás esto dé una pista a otras personas para que me ayuden con la interpretación de los espinores en la geometría diferencial clásica.

Answer 1

Por lo que sé, este tipo de estructura fue invocada por primera vez por Dirac para sacar una raíz cuadrada del laplaciano, y esto lo hacía para escribir las ecuaciones de Klein-Gordon invariantes de Lorentz. Es un ejercicio útil intentar resolver la ecuación $D^2 = \Delta$ en un espacio euclidiano $V$ para un operador de primer orden $D$ ; encontrará que los coeficientes tienen que satisfacer ciertas relaciones que no pueden ser satisfechas por los números reales o complejos ordinarios. La estructura algebraica necesaria para obtener estas relaciones la proporciona un álgebra $A$ con $V$ como un subespacio lineal tal que $v^2 = -||v||^2 1$ en el álgebra. En otras palabras, necesitas sacar una "raíz cuadrada" de tu forma cuadrática.

En resumen, un haz de espinores en una variedad riemanniana es un escenario para tomar una raíz cuadrada de la métrica riemanniana. En concreto, se trata de un haz $S$ en la que los vectores tangentes actúan como morfismos del haz de tal manera que $v^2 s = -||v||^2 s$ . En la ecuación de Dirac, los coeficientes de $D$ estaban dadas por ciertas matrices (las "matrices de espín de Pauli"), por lo que pensaba en $D$ como tomando valores en un espacio vectorial que lleva una representación del álgebra $A$ . Así, el haz de espinores es una versión global de ese espacio vectorial.

Eso te dice qué propiedades se supone que tiene el haz de espinores, pero no te dice lo que el haz es en realidad. Si lo buscas en un libro, encontrarás que el haz de espinores es un haz asociado a un principal $Spin(n)$ (o $Spin^c(n)$ ) a través de la representación de espín, pero para mí eso es sólo un poco más útil que definir una métrica riemanniana como una reducción del grupo estructural del principal $GL(n)$ -un paquete de marcos a un $O(n)$ -un paquete.

He aquí lo que yo consideraría una descripción más concreta y bien motivada. Volvamos al álgebra $A$ asociado a un espacio euclidiano $V = \mathbb{R}^n$ como en el caso anterior. El ejemplo universal de tal álgebra es el álgebra de Clifford $Cl(V)$ con una acción natural a la izquierda de $V$ . Elección de una base ortonormal para $V$ se puede describir $\mathbb{R}_n := Cl(V)$ como el álgebra universal sobre $\mathbb{R}$ generado por los símbolos $e_1, \ldots, e_n$ con sujeción a las relaciones $e_j^2 = -1$ y $e_j e_k = -e_k e_j$ pour $i \neq j$ . No es difícil ver que $Cl(V)$ es isomorfa como espacio vectorial (pero no como álgebra) al álgebra exterior de $V$ y por lo tanto $Cl(V)$ hereda una natural $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ graduación, dada por productos de números pares/impares de generadores. Obsérvese que la multiplicación por la derecha por el $j$ es una anti-involución impar, por lo que una elección de base ortonormal para $V$ da $Cl(V)$ la estructura de un $n$ -superálgebra multigradual.

Podemos definir un haz de espinores (reales) de un $n$ -para ser un haz que es localmente isomorfo al haz trivial cuyas fibras están dadas por $\mathbb{R}_n$ equipado con una acción izquierda del haz tangente y una $n$ -multigrado que proviene de una elección de marco ortonormal local. También existe una noción obvia de haz espinor complejo: basta con utilizar el álgebra de Clifford compleja $\mathbb{C}_n$ . Obsérvese que la dimensión de la fibra de este haz será el doble de la del haz obtenido mediante la representación de espín, pero los operadores multigraduales pueden utilizarse para "reducir" mi versión del haz espinor a la versión habitual. Hay muchas razones por las que creo que es más conveniente pensar en un haz de espinores como un haz de álgebras de Clifford con datos adicionales de supersimetría, pero me centraré brevemente en una razón topológica que creo que llega al meollo de la cuestión.

La existencia de un haz de espinores reales en una variedad $M$ (una "estructura de espín") es una condición bastante severa. La complejización de un haz espinor real es un haz espinor complejo, pero no todos los haces espinor complejos ("Spin $^c$ estructuras") surgen de este modo. Por ejemplo, cualquier colector complejo tiene un espín $^c$ estructura, pero incluso $\mathbb{C}P^2$ no tiene una estructura de giro. Una orientación en $M$ puede recuperarse a partir de una selección de espines $^c$ estructura, y de hecho "spin $^c$ -able" es sólo un poco más fuerte que orientable - la mayoría de los colectores orientables que puedes nombrar son probablemente spin $^c$ - se puede. Mi objetivo al sacar esto a colación es relacionar los haces de espinores con la K-homología, la teoría homológica generalizada dual a la K-teoría topológica. En la teoría de la homología ordinaria, una elección de orientación en un $n$ -manifold $M$ es lo mismo que una elección de clase fundamental en $H_n(M)$ . Del mismo modo, una elección del haz de espinores real / complejo en un $n$ -manifold $M$ es lo mismo que una elección de clase fundamental en el $n$ grado real/complejo de la K-homología de $M$ (los datos de multigrading son cruciales aquí). Esta observación es el punto de partida de algunas de las pruebas más conceptuales del teorema del índice de Atiyah-Singer, pero esta respuesta se ha alargado demasiado. Espero que sirva de ayuda.

Answer 2

A continuación se desarrolla el punto de vista de que los espinores son "raíces cuadradas" de vectores (o más bien de vectores isotrópicos ). Limitaré mi atención a los vectores euclidianos tridimensionales, porque estoy mucho menos familiarizado con los casos de mayor dimensión y no quiero pretender demasiado. Incluso así, no me considero un experto y es probable que me equivoque en algunas cosas.

Consideremos el espacio vectorial $\mathbb{C}^3$ con la forma bilineal (no hermitiana) $v\cdot w=v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3$ . El grupo $O(3)$ es el grupo de transformaciones lineales que preservan esta forma bilineal. Sea $N\subset \mathbb{C}^3$ sea el subconjunto de isotrópico (o null ), los que satisfacen $v\cdot v=0$ . Como estamos en un espacio vectorial complejo, hay muchos vectores de este tipo. De hecho, forman una subvariedad de dimensión 2, que es invariante bajo la acción de $O(3)$ .

Por diversión, podemos considerar la cuestión (o aproximaciones a ella) de si el espacio bidimensional $N$ puede ser parametrizado polinómicamente o racionalmente por $\mathbb{C}^2$ . Ahora bien, no me detendré en esta cuestión en su generalidad y sólo observaré que $N$ admite, de hecho, una cobertura local (por lo que no es exactamente una parametrización) por $\mathbb{C}^2$ . Excepto en $v=0$ es decir; estoy seguro de que hay un término más correcto que el de cobertura local que tiene en cuenta esto, pero no lo conozco. Este mapa de cobertura está dado por un polinomio cuadrático homogéneo y es 2 a 1. Este espacio $\mathbb{C}^2$ es el espacio espinor habitual y este mapa de cobertura es bien conocido.

Llegados a este punto, podemos empezar a jugar todos los juegos habituales con el mapa de cobertura $\mathbb{C}^2\to N$ . Por ejemplo, las rutas en $N$ pueden ser elevados a caminos en $\mathbb{C}^2$ . En particular, un camino cerrado en $N$ producido por la acción sobre un vector de una trayectoria cerrada en $O(3)$ que comienza y termina en la identidad, se elevará a un camino en $\mathbb{C}^2$ que no necesariamente se cerrará. Se trata de la conocida propiedad de que los espinores son negados por un $2\pi$ rotación.

Tal vez no sea sorprendente entonces que la acción de $O(3)$ en $N$ puede elevarse a la acción de una cubierta de $O(3)$ en $\mathbb{C}^2$ . Qué es Me sorprende en esta construcción que la acción levantada en $\mathbb{C}^2$ es lineal . Tal vez esta propiedad de la construcción sea obvia por alguna razón, pero no puedo precisarla.

Ahora, para una variedad riemanniana de 3 dimensiones, la construcción anterior puede generalizarse, en forma de fibra, complejizando su haz tangente. Dado que el transporte paralelo de vectores deja invariante el subfondo de vectores isótropos, también puede elevarse al transporte paralelo de espinores.

Así que, llegando finalmente a tu pregunta, en la geometría diferencial clásica de los 3 manifolds de Riemann, creo que se puede pensar en los espinores y en varias acciones sobre ellos como (ascensos de) vectores isótropos y acciones correspondientes sobre ellos. El punto de vista de los espinores revela algunas buenas propiedades que no son evidentes de otro modo: (a) la subvariedad no lineal de los vectores isotrópicos puede ser parametrizada (2 a 1, cuadráticamente) por un espacio lineal, (b) las rotaciones se elevan al espacio de parametrización como transformaciones lineales. Creo que estas ideas se generalizan a dimensiones superiores, pero me temo que no puedo dar ningún detalle.

Answer 3

Un campo espinor en geometría diferencial clásica no es más que una sección de un haz espinor, que por definición es un haz asociado construido a partir de la representación espinor y el haz de tramas ortonormales. No conozco ninguna interpretación verdaderamente geométrica, pero no soy un experto. Tal vez pueda valer la pena mirar a baja dimensión, especialmente a dimensión 4.

Sin embargo, el uso de los campos de espinores en la geometría diferencial clásica es muy amplio y está muy influenciado por la física. Un resultado prototípico es que la existencia de soluciones especiales de ciertas ecuaciones "geométricas" implica restricciones en la geometría de la variedad.

Además, si se quiere definir la raíz cuadrada del operador de Laplace-Beltrami (es decir, el operador de Dirac), se llega al haz de espinores y a los campos de espinores.