¿Inexistencia incondicional para la ecuación del calor con datos que crecen rápidamente?

Question

Consideremos el problema de valor inicial $$ \partial_t u = \partial_{xx} u$$ $$ u(0,x) = u_0(x)$$ para la ecuación del calor en una dimensión, donde $u_0: {\bf R} \to {\bf R}$ es un dato inicial suave y $u: [0,+\infty) \times {\bf R} \to {\bf R}$ es la solución suave. En condiciones razonables de crecimiento en $u_0$ y $u$ (por ejemplo $u_0$ y $u$ son a lo sumo de crecimiento polinómico), existe una solución única $u$ a este problema dado por la fórmula clásica

$$ u(t,x) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} \int_{\bf R} e^{-|x-y|^2/4t} u_0(y)\ dy.$$

Sin embargo, como es bien sabido, una vez que se permite $u_0$ o $u$ crezca lo suficientemente rápido en el infinito, entonces las soluciones suaves de la ecuación del calor ya no son únicas, como se demostró primero por Tychonoff en 1935.

Mi pregunta se refiere entonces a la pregunta correspondiente para existencia ¿existen datos iniciales suaves $u_0$ para los que hay no soluciones globales suaves $u$ al problema de valor inicial de la ecuación del calor?

Un candidato obvio para estos datos "malos" sería un núcleo de calor hacia atrás, como $$ u_0(x) = e^{|x|^2/4}.$$ Se puede comprobar que $$ u(t,x) = \frac{1}{(1-t)^{1/2}} e^{|x|^2/4(1-t)}$$ es una solución suave del problema de valor inicial para la ecuación del calor con el dato inicial $u_0$ hasta el momento $t=1$ En ese momento explota (de forma bastante dramática). Sin embargo, esto no resuelve completamente el problema debido a la ya mencionada falta de unicidad; sólo porque esta solución particular $u$ se desvanece, podría haber alguna otra solución suave más exótica con los mismos datos que de alguna manera se las arregla para mantener su suavidad más allá del tiempo $t=1$ . Esto me parece muy improbable, pero no he podido demostrar tal resultado de "inexistencia incondicional" - la ausencia de cualquier hipótesis de crecimiento en el infinito parece destruir la mayoría de los métodos de control de las soluciones, y podría crear potencialmente algún escenario extraño en el que se podría evitar continuamente la formación de singularidades bombeando cantidades infinitas de energía desde el infinito espacial de la manera adecuada. Pero, ¿quizás haya alguna literatura sobre este problema?

Answer 1

Es cierto que para cualquier dato inicial $u_0\in C^\infty(\mathbb{R})$ existe una solución $u\in C^\infty(\mathbb{R}^+\times\mathbb{R})$ a la ecuación del calor con la condición inicial $u(0,x)=u_0(x)$ . Como usted señala, esto no será único.

Ahora puedo dar un método para construir tales soluciones. La idea es mostrar que podemos escribir $u=\sum_{n=1}^\infty f_n$ donde $f_n$ son soluciones cuidadosamente construidas y elegidas de forma que las sumas parciales $\sum_{n=0}^mf_n(0,x)$ Finalmente, estoy de acuerdo con $u_0(x)$ cualquier subconjunto acotado de los reales, y para el que $f_n$ tiende a cero con una rapidez arbitraria en la topología compacta-abierta. Primero un poco de notación. Utilizo $\mathbb{R}^+=[0,\infty)$ para los reales no negativos. Para un espacio $X$ entonces $C_0(X)$ , $C^\infty(X)$ , $C^\infty_0(X)$ y $C^\infty_K(X)$ representan las funciones continuas de valor real en $X$ que son respectivamente evanescentes en el infinito, suaves, suaves y evanescentes en el infinito, y suaves con soporte compacto. Sea $(P_t)_{t\geq 0}$ sean los núcleos $$ \begin{align} &P_t\colon C_0(\mathbb{R})\to C_0(\mathbb{R}),\\\\ &P_tu(x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int_\mathbb{R}e^{-(x-y)^2/4t}u(y)\,dy \end{align} $$ para $t > 0$ y $P_0u=u$ . Esta es la función de transición de Markov para Movimiento browniano (más precisamente, para el movimiento browniano estándar escalado por $\sqrt{2}$ debido a la normalización utilizada aquí). En $u\in C_K^\infty(\mathbb{R})$ entonces $f(t,x)=P_tu(x)$ está en $C_0^\infty(\mathbb{R}^+\times\mathbb{R})$ y es una solución de la ecuación del calor con la condición inicial $f(0,x)=u(x)$ , coincidiendo con la solución clásica planteada en la pregunta. También consideraré las condiciones iniciales $u\in C^\infty_K((a,\infty))$ (para $a\in\mathbb{R}$ ) estableciendo $u(x)\equiv0$ para todos $x\le a$ . El primer paso en la construcción es encontrar las condiciones iniciales apoyadas en $(a,\infty)$ para que $P_tu(0)$ se aproxima a cualquier función continua del tiempo que nos guste.

1) Para cualquier $a > 0$ y $h\in C_0((0,\infty])$ existe una secuencia $u_1,u_2,\ldots\in C^\infty_K((a,\infty))$ tal que $\sqrt{t}P_tu_n(0)$ converge uniformemente a $h(t)$ (sobre $t > 0$ ) como $n\to\infty$ .

Considera el cierre, $V$ , en $C_0((0,\infty])$ (bajo la norma uniforme) del espacio de funciones $t\mapsto\sqrt{4\pi t}P_tu(0)$ para $u\in C^\infty_K((a,\infty))$ . Obsérvese que el límite como $t\to\infty$ siempre existe y es sólo la integral de $u$ . Entonces $V$ es un subespacio lineal cerrado de $C_0((0,\infty])$ . Considere una secuencia $u_n\in C_0((a,\infty))$ tendiendo a la función delta $\delta_b$ en un punto $b > a$ en el sentido de que $u_n$ todos tienen soporte en el mismo conjunto compacto, y convergen en la distribución a $\delta_b$ . Entonces, a partir de la expresión que define $P_t$ , $\sqrt{4\pi t}P_tu_n(0)$ converge uniformemente sobre $t > 0$ a $\exp(-b^2/4t)$ . Así, la función $t\mapsto\exp(-b^2/4t)$ está en $V$ . Como el conjunto de funciones de la forma $t\mapsto\exp(-b^2/4t)$ para $b > a$ es cerrado bajo la multiplicación y separa puntos, la versión localmente compacta de la Teorema de Stone-Weierstrass dice que $V=C_0((0,\infty])$ . Entonces, se deduce (1).

2) Para cualquier $u\in C^\infty_K((0,\infty))$ y $a,T > 0$ existe una secuencia $u_1,u_2,\ldots\in C^\infty_0((a,\infty))$ tal que $f_n(t,x)\equiv P_t(u+u_n)(x)$ converge uniformemente a cero (junto con todas sus derivadas parciales en todos los órdenes) sobre $t\in[0,T]$ y $x\le0$ .

Elección de $0 < \epsilon < a$ para que el apoyo de $u$ está contenida en $(\epsilon,\infty)$ (1) implica que podemos elegir $u_n\in C^\infty_K((a,\infty)$ para que $\sqrt{t}P_tu_n(\epsilon)$ converge uniformemente a $-\sqrt{t}P_tu(\epsilon)$ en $t\ge0$ como $n\to\infty$ . Entonces, $f_n(t,x)\equiv P_t(u+u_n)(x)$ es una solución acotada de la ecuación del calor con condiciones de contorno $f_n(0,x)=0$ para $x\le\epsilon$ y $f_n(t,\epsilon)=P_t(u+u_n)(\epsilon)$ . Es entonces estándar que la solución esté dada por una integral sobre la frontera, $$ f_n(t,x)=\int_0^t\frac{\epsilon-x}{\sqrt{4\pi (t-s)^3}}e^{-(\epsilon-x)^2/4(t-s)}\sqrt{s}P_s(u_n+u)(\epsilon)\frac{ds}{\sqrt{s}} $$ para $x\le0$ . Diferenciando esto wrt $x$ y $t$ un número arbitrario de veces, y utilizando la convergencia dominada como $n\to\infty$ se deduce que $f_n(t,x)$ (y todas sus derivadas parciales) convergen uniformemente a cero sobre $x\le0$ y $t\in[0,T]$ como $n\to\infty$ .

3) Supongamos que $T > 0$ , $0 < a < b$ y $u\in C^\infty_K(\mathbb{R})$ tiene apoyo contenido en $(-\infty,-a)\cup(a,\infty)$ . Entonces, existe una secuencia $u_n\in C^\infty_K(\mathbb{R})$ con soportes en $(-\infty,-b)\cup(b,\infty)$ tal que $P_t(u+u_n)(x)$ (y todas sus derivadas parciales) tiende a 0 uniformemente sobre $\vert x\vert\le a$ y $t\in[0,T]$ .

Set $u^+(x)=1_{\{x > 0\}}u(x)$ y $u^-(x)=1_{\{x < 0\}}u(x)$ . Aplicando (2) a $u^+(x+a)$ existe una secuencia $u^+_n\in C^\infty_K(\mathbb{R})$ con soportes en $(b,\infty)$ tal que $P_t(u^++u^+_n)(x)$ tiende a 0 uniformemente sobre $x\le a$ y $t\in[0,T]$ . Aplicando el mismo argumento a $u^-(-x-a)$ existe $u^-_n\in C^\infty_K(\mathbb{R})$ con apoyo en $(-\infty,-b)$ tal que $P_t(u^-+u^-_n)(x)$ tiende a cero uniformemente sobre $x\ge -a$ y $t\in[0,T]$ . Una secuencia que satisface el enunciado de (3) es $u_n=u^+_n+u^-_n$ .

4) Si $u\in C^\infty(\mathbb{R})$ entonces existe $f\in C^\infty(\mathbb{R}^+\times\mathbb{R})$ resolver la ecuación del calor con la condición inicial $f(0,x)=u(x)$ .

Podemos elegir inductivamente una secuencia $u_n\in C^\infty_K(\mathbb{R})$ tal que $\sum_{m=1}^nu_m(x)=u(x)$ para $\vert x\vert\le n+1$ y $n\ge1$ . Sea $u_1=u$ en $[-2,2]$ y luego, para cada $n\ge2$ , aplique el siguiente paso.

• Como $\tilde u=u-\sum_{m=1}^{n-1}u_m$ es cero en $[-n,n]$ tiene soporte en $(-\infty,-a)\cup(a,\infty)$ para $a=n-1/2$ . Elección de $b=n+1$ por (3), existe $v\in C^\infty_K(\mathbb{R})$ con apoyo en $(-\infty,-b)\cup(b,\infty)$ tal que $P_t(\tilde u +v)(x)$ junto con todas sus derivadas parciales hasta el orden $n$ están limitados por $2^{-n}$ en $\vert x\vert\le n-1/2$ y $t\le n$ . Tome $u_n=\tilde u + v$ .

Configurar $f_n(t,x)=P_tu_n(x)$ entonces $f_n$ son funciones suaves que satisfacen la ecuación del calor y las condiciones iniciales $\sum_{m=1}^nf_m(0,x)=u(x)$ para $\vert x\vert\le n+1$ . Además, por la elección de $u_n$ , para $n > 1$ entonces $f_n$ junto con todas sus derivadas hasta el orden $n$ está limitada por $2^{-n}$ en $[0,n]\times[1-n,n-1]$ . Como $\sum_n2^{-n} < \infty$ el límite $f=\sum_nf_n$ existe y es suave con todas las derivadas parciales conmutando con el sumatorio. Entonces $f$ tiene las propiedades requeridas.