Denote K,H sean grupos discretos contables, entonces me interesa saber si el grupo de productos cruzados G=H⋊ es susceptible de ser interiorizado o no.
Por ejemplo, cuando \alpha es trivial, G=H\times K y si H y K es susceptible de ser interior, entonces G es susceptible de ser utilizado internamente comprobando la definición de susceptible de ser utilizado internamente. Pero en general, G puede no ser interiormente susceptible, por ejemplo, G=M_4(\mathbb{Z})\rtimes SL_4(\mathbb{Z}) que es un grupo I.C.C.(clase de conjugación infinita) con la propiedad (T) según este documento .
Mis preguntas son las siguientes.
Pregunta 1:
¿Es cierto que G es un grupo interno susceptible de cualquier acción \alpha siempre que se dé una de las siguientes condiciones?
(c1) H es interiormente susceptible, K es susceptible.
(c2) H es I.C.C. y amenidad interior, K es I.C.C. y amenidad interior.
(c3) H es I.C.C. y amenidad interior, K es susceptible.
(c4) H es I.C.C. y amenable, K es I.C.C. y amenidad interior.
Tal vez otra pregunta abierta sea :
Pregunta 2:
Encontrar condiciones, digamos (P), sobre la acción \alpha tal que (P)+(c4)\Longrightarrow G es interiormente susceptible.
Se agradece cualquier referencia o comentario.
Observación:
1, Este documento podría ser útil, pero no he visto cómo aplicar los resultados en él a esta pregunta.
2, Esta cuestión está motivada por una pregunta en las álgebras de von Neumann.
Cuando N es un II _1 con la propiedad Gamma, K es un grupo interno amenable, supongamos que el producto cruzado M=N\rtimes_{\alpha}K sigue siendo un II _1 entonces, cuando M tiene la propiedad Gamma?
Si K es susceptible, es bien sabido que M siempre tiene la propiedad Gamma. Basándonos en la estrecha relación entre H es interiormente susceptible y L(H) tiene la propiedad Gamma, podríamos esperar que la pregunta 1 tenga una respuesta positiva cuando (c3) se cumpla.
