Estoy tratando de entender cómo se define "la" integral general en la teoría de la medida, pero no lo entiendo. Estoy usando los "Fundamentos del Análisis Moderno" de Friedman.
Una función sencilla $g=\sum \beta_i 1_{E_i}$ es integrable si $\mu(E_i)<\infty$ para todos $i$ y la integral de $g$ es $\int g \space d\mu := \sum \beta_i \mu(E_i)$ . Si $E$ es un conjunto medible y $f$ una función simple integrable, la integral de $f$ en $E$ es $\int_E f \space d\mu := \int f \space 1_E \space d\mu$ . Desde $f$ es simple, se puede escribir como $f=\sum \alpha_i 1_{E_i}$ (por lo que $E_i$ ?). Entonces tenemos $\int_E f \space d\mu= \int 1_E (\sum \alpha_i 1_{E_i})d\mu$ . La presencia de ambos $1_E$ y el $1_{E_i}$ me causa algún problema pero creo que la integral sale como $\sum \alpha_i \mu(E \cap E_i)$ . Esto es bastante constructivo.
Ahora bien, una función medible $f:\Box \rightarrow \bar{\mathbb{R}}$ se dice que es integrable si existe una secuencia $\{f_n\}$ de función integrable simple tal que $\{f_n\}$ es una secuencia de Cauchy en la media y $\mathrm{lim} f_n(x)=f(x)$ a.e. (o la secuencia converge en medida a $f$ ).
Esto no es tan constructivo. Olvidando por un momento las cosas del instituto, nada de esto me dice realmente cómo integrar incluso una función constante, ¿cómo lo haría con la información anterior? ¿O es que me estoy centrando en lo incorrecto? ¿Es lo importante, de un curso como este (asumo que los primeros cursos de teoría de la medida son iguales en todo el mundo), principalmente aprender los aspectos cualitativos de la teoría de la medida y cómo abarca la integración de Riemann, etc., más que saber cómo hacer la integración real?
