¿Por qué hay tantas funciones suaves?

Question

Entiendo que mi pregunta pueda parecer un poco ignorante, pero he pensado mucho en ello y aún no me aclaro.

La analidad impone condiciones muy fuertes a un mapa, desde las elementales como "localmente cero implica globalmente cero", hasta otras un poco más profundas como la fórmula de Hurwitz (en el caso complejo). Ninguna de las anteriores es cierta si sólo asumimos la suavidad.

Por un lado, es bastante fácil demostrar que las funciones suaves son densas en cualquier espacio de funciones "razonable" (aunque supongo que depende de lo que uno considere razonable ): basta con convulsionar con aproximaciones suaves de la identidad. Además, (aunque me lo tomo a pecho), cualquier mapa de dos variedades es homotópico a una suave y dos mapas suaves homotópicos son realmente suaves-homotópicos.

Por los hechos anteriores, me parece que las funciones suaves son "abundantes" y en realidad están muy cerca de la topología, es decir, de la mera continuidad.

Por otro lado, cuando recuerdo el curso de cálculo básico, siempre me pareció que ser diferenciable incluso una vez es un "milagro", y ser diferenciable infinitas veces es una condición muy, muy fuerte, más aún en varias variables.

¿Por qué son tan útiles los objetos con restricciones, es decir, las funciones suaves, y también, tan maleables?

Answer 1

Una forma de pensar en esto es a través de las soluciones de las ecuaciones (funcionales). Si se estudian las soluciones de las ecuaciones polinómicas, entonces se está en el ámbito de la geometría algebraica, y del mismo modo está el estudio de las soluciones de las ecuaciones de las funciones analíticas. La profundidad de estos campos justifica adecuadamente la afirmación de que hemos hecho "fuertes restricciones" a las funciones que permitimos.

Sin embargo, en este contexto, la suavidad no impone tales restricciones. De hecho, muchos teoremas sobre el entorno continuo se extienden al entorno liso (con un poco de maquinaria, por supuesto, particiones de la unidad o funciones de bump), por ejemplo, uno tiene un lema de Urysohn liso que implica que el estudio de conjuntos cero de funciones lisas es lo mismo que el estudio de conjuntos cerrados de nuestro espacio.

A partir de los ejemplos más básicos también se observa que para las ecuaciones funcionales "suficientemente bonitas" imponer la suavidad a las soluciones es lo mismo que imponer la conitnuidad. La primera vez que uno se encuentra con esto es probablemente en Ecuaciones funcionales de Cauchy y sus análogos, que dicen que las soluciones son suaves (lineales, polinómicas, exponenciales, logarítmicas, etc.) o son salvajes (densas en el plano). No conozco una forma de hacer riguroso este negocio de ecuaciones funcionales en general, pero en caso de que uno se restrinja a las estructuras de grupo entonces este fenómeno es básicamente El quinto problema de Hilbert un grupo topológico localmente euclidiano es un grupo de Lie. Aquí es una buena exposición de Terence Tao.

Answer 2

Esta es una respuesta algo diferente:

Las funciones suaves siempre admiten expansiones asintóticas en cada punto, convergentes o no. Una diferencia entre las funciones analíticas y las funciones suaves es, por supuesto, que las funciones analíticas están determinadas de forma única por su expansión asintótica en algún punto (que, por supuesto, no es más que su serie de Taylor), mientras que las funciones suaves no lo están. Pero incluso si las funciones suaves estuvieran determinadas por su expansión asintótica en un punto dado, todavía se ve lo que va mal:

Hay teoremas (que yo recuerde de Witt para el caso complejo y de Borel para el caso real-analítico, aunque ambos sólo en una dimensión) que responden a la pregunta de qué restricciones tiene que cumplir una secuencia para ser la serie de coeficientes de la expansión asintótica de una función suave. La respuesta: No hay ninguna.

Así, toda secuencia real o compleja aparece como secuencia de coeficientes de la expansión asintótica de una función suave en un punto determinado.

Esto significa que el espacio de posibles coeficientes es mayor que $L^{\infty}(\mathbb{N},\mu)$ (para cualquier medida equivalente a la medida del punto) y ese espacio no es separable. Y aún es peor porque una serie de coeficientes dada no determina localmente una función suave, y mucho menos globalmente. Sin embargo, las series de coeficientes de una función analítica se encuentran en el espacio $L^1(\mathbb{N},\mu)$ , donde $\mu$ es la medida del punto multiplicada por la función $n \mapsto 1/n!$ que es separable.