Yo también me pregunté esta cuestión durante un tiempo, pero creo que a estas alturas ya me he convencido por qué hay realmente tantas funciones suaves . Tal vez las ideas que me convencieron a mí puedan convencerte a ti. Creo que has respondido a la pregunta cuando la has formulado: el proceso de moldeo es básicamente el responsable. Si no recuerdo mal, el asunto de las homotopías lisas también se demuestra más fácilmente a través de la molificación.
Si empiezas con un no negativo función de baches suaves $\eta$ en la bola unitaria de ${\mathbb R}^n$ normalizado para que $\int \eta(x) dx = 1$ entonces se puede considerar la medida $\eta(x) dx$ como una medida de probabilidad suave. Asimismo, la medida $\eta_\epsilon(x) dx = \eta(\frac{x}{\epsilon}) \frac{dx}{\epsilon^n}$ es otra medida de probabilidad suave soportada en la bola de radio $\epsilon$ (es el pushforward de la primera por multiplicación por $\epsilon$ ).
Así que con esta interpretación, la molicie $f_\epsilon(x) = \int f(y) \eta_\epsilon(x - y) dy$ es lo que ocurre cuando se traduce al azar la función $f$ y sustituir su valor en cada punto por el valor esperado tras estas traslaciones aleatorias. Ahora, debería parecer intuitivo que, incluso cuando la función original es singular, la función resultante se parece mucho a la original, pero es mucho más suave porque las singularidades se dispersan y, por tanto, disminuyen. Imagínese, por ejemplo, lo que resulta cuando se hace esto con la función característica de un conjunto abierto: se obtiene un corte suave que se parece al bruto. O si quieres una partición suave de la unidad, empieza con una áspera (funciones características de los conjuntos) y simplemente moléchala para obtener una suave.
Por lo tanto, si crees en las funciones suaves de baches, debes creer que hay muchas funciones suaves. Por cierto, en caso de que no lo sepas, hay más de una forma de producir una función de protuberancia suave. Una forma (digamos que estamos en la línea) es convulsionar repetidamente funciones características de intervalos de tal manera que el soporte permanezca acotado -- la regularidad aumenta en uno cada vez que lo haces.
EDIT: Me he dado cuenta de que la pregunta también se refería a qué hace que las funciones suaves sean tan útiles , que es algo que no he abordado en absoluto.
Una de las razones por las que son tan útiles es que, sencillamente, no tienen los defectos que tienen las funciones no suaves y, por tanto, es menos probable que introduzcan cuestiones irrelevantes para su problema. Por ejemplo, si quieres un recuento asintótico de los puntos enteros de la red en una bola grande, quieres usar la suma de Poisson para que el término principal sea simplemente la contribución del $0$ frecuencia y todo lo demás puede ser tratado como un error. Desgraciadamente, la transformada de Fourier de la función característica de una bola no decae lo suficientemente bien como para que esta idea funcione (aunque decae mejor de lo que cabría esperar gracias a la curvatura de la esfera, hecho que en última instancia mejora el término de error). El problema aquí está relacionado con el principio de incertidumbre -- el análisis de Fourier no puede dar un recuento de los puntos de la red que sea precisamente sensible a los puntos a lo largo de la frontera; la función característica de una bola abierta o su cierre definen lo mismo $L^2$ función. Por lo tanto, hay que apaciguar el balón para que esta estrategia funcione. Esencialmente, el mismo problema surge al demostrar el teorema de los números primos (y surge comúnmente en la teoría analítica de los números en general): muchas pruebas tienen tecnicismos irrelevantes, todos relacionados con no suavizar la cuenta.
Otro ejemplo: demostrar que el grupo fundamental de la 2-esfera es trivial. Es fácil demostrar que una curva suave (o Lipschitz) perderá algún punto de la $2$ esfera (ya que ni siquiera puede aumentar la dimensión de Hausdorff), y por tanto dicha curva es homotópica a una constante. Pero las curvas continuas podrían abarcar toda la esfera, lo que plantea un problema relacionado más con las oscilaciones y la falta de regularidad y se podría decir que menos con la topología. Un problema similar surge cuando se considera el grado de un mapa continuo -- pueden alcanzar sus valores infinitas veces gracias a las oscilaciones incontroladas, por lo que es más difícil interpretar el grado como un recuento y suele requerir una aproximación. Por otro lado, las distinciones entre las variedades topológicas y las lisas (por ejemplo, las esferas exóticas) constituyen un tema realmente interesante, por lo que no siempre se puede descartar la falta de lisura como una simple molestia.
Otra razón unificadora por la que las funciones suaves son tan útiles es el hecho de que las funciones singulares pueden ser aproximadas por funciones suaves, por lo que los conceptos que ya tienen un significado explícito para las funciones suaves (por ejemplo, el grado, las derivadas de la teoría de la distribución, la transformada de Fourier) tienen una extensión natural a las funciones singulares exactamente cuando son continuas con respecto a ese tipo de aproximación. Por ejemplo, el grado es continuo con respecto a la aproximación uniforme, por lo que las funciones continuas tienen un grado (más interesante es que el grado se extiende a los mapas con aproximaciones en BMO -- ver los estudios de Brezis). Cuando se trabaja con funciones suaves rara vez se preocupa de que algo esté definido, y entonces sólo hay que comprobar las estimaciones/continuidad (por ejemplo, los mapas de la transformada de Fourier $L^2 \to L^2$ ) para asegurarse de que la definición por aproximación es correcta.
Por último, sólo se pueden utilizar funciones suaves cuando se está en una variedad, por lo que muchos de los axiomas que la gente escribe en la topología de conjuntos de puntos para asegurarse de que no están mirando un espacio atroz y patológico, ya han sido construidos (¿por completo?) en la maquinaria de las funciones suaves y las particiones de la unidad. Las funciones suaves pueden diferenciar dos conjuntos cerrados, por lo que el espacio es normal, etc. Por lo tanto, el uso de funciones suaves en los argumentos le ayuda a evitar patologías no deseadas del espacio, así como los mapas.
