Encuentre el campo de división de $x^4+x^2+1$

Question

Encuentre el campo de división de $$x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$$ Tengo $(-1±\sqrt{-3})/2$ y $(1±\sqrt{-3})/2$ Así que.., $\mathbb{Q}(1,\sqrt{-3})$ pero no estoy seguro de ello.

Answer 1

Una pista: Si $x^2-x+1=0$ entonces $(-x)^2 +(-x)+1=0$ y a la inversa.

Answer 2

Su polinomio tiene raíces $\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$ , $\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$ así como dos raíces cúbicas complejas de la unidad (ya que uno de los factores de su polinomio es el 3er polinomio ciclotómico).

$\mathbb{Q}(1)$ es una extensión trivial, por lo que nunca necesitarás escribirla, y el campo de división por definición debería ser $\mathbb{Q}(\frac{-1+\sqrt{3}}{2},\frac{-1-\sqrt{3}}{2},e^{\frac{2\pi i}{3}},e^{\frac{4\pi i}{3}})$ con solo sumar todas las raíces, sin embargo puedes conseguirlo con solo buscar en wolfram alpha o lo que quieras.

El contenido de la pregunta viene en simplificar la expresión anterior ya que las dos primeras raíces son obviamente $\mathbb{Q}$ combinaciones lineales entre sí. ¿Cómo se relacionan las otras dos raíces? ¿Puedes simplificar más a partir de ahí?