Variación del algoritmo de división

Question

Cómo derivar esta versión del algoritmo de la división .

Para enteros a, b con b 0 existen enteros únicos q y r que satisfacen a = qb + r, donde -1/2|b| < r 1/2 b.

Empecé dejando que a = q'b + r', donde 0 r' < |b|. Cuando 0 r' 0,5 b, dejemos r = r' y q = q'; cuando 0,5 |b| < r' < |b|, dejemos r = r' - |b| y q = q' +1 si b> 0 o q = q' -1 si b < 0. Entonces el trabajo se complica. ¿Puede alguien decirme cómo continuar?

Answer 1

Estás en el camino correcto. Si $\frac{|b|}{2}=|b|-\frac{|b|}{2}<r<|b|,$ dejar $r':=r-|b|$ y que $q':=q+\frac{|b|}{b}.$ Entonces $$a=bq'+r',$$ y $-\dfrac{|b|}{2}<r'<0<\dfrac{|b|}{2}.$

Tenga en cuenta que no importa si $b<0$ o $b>0.$ La parte de la singularidad es fácil.

Answer 2

Por división ordinaria, para un determinado $a,b$ existen enteros únicos $q,r$ satisfaciendo $a+\lfloor\dfrac b2\rfloor=qb+r$ con $0\le r<b$ .

Entonces, existen enteros únicos $q,r':=r-\lfloor\dfrac b2\rfloor$ satisfaciendo $a=qb+r'$ con $-\lfloor\dfrac b2\rfloor\le r'<b-\lfloor\dfrac b2\rfloor$ .