Mi impresión es que, en el caso discreto, las preguntas y las herramientas interesantes son a veces diferentes del caso continuo.
Estudiar la Laplacion discreta también significa que uno está interesado en la solución discreta. Por ejemplo, en una dimensión la gente suele investigar la ecuación no lineal discreta de Schrödinger $$i\partial_t u(t,n) = -\Delta_{\text{disc}} u(t,n) + \lvert{u(t,n)}\rvert^2 u(t,n), \qquad t\in \mathbb{R},\ n\in\mathbb{Z},$$ donde $\Delta_{\text{disc}}u(u) = u(n+1) - 2u(n) + u(n-1)$ . Como se ha sospechado, la teoría de la buena composición global en el tiempo es mucho más fácil que en el caso continuo. Por ejemplo, en el espacio $\ell^2(\mathbb{Z})$ la existencia y la unicidad de las soluciones locales de las ecuaciones anteriores se desprende del teorema clásico de Picard-Lindelöf (considere la ecuación como una EDO con $C^1$ -lado derecho en el espacio de Hilbert $\ell^2(\mathbb{Z})$ ). La conservación del $\ell^2$ -normas (comprobar $\frac{d}{dt} \lVert u(t)\rVert_2^2 = 0$ ) muestra que no hay explosión y, por tanto, la solución existe globalmente. Argumentos similares funcionan en el caso de las soluciones ponderadas $\ell^2$ -ver, por ejemplo, el lema 2 del artículo Estabilidad asintótica de estados límite pequeños en la ecuación no lineal discreta de Schrödinger por Kevrekidis, Pelinovsky y Stefanov.
Dices que herramientas como las estimaciones clásicas de Strichartz han desaparecido en el caso discreto. Estas cuestiones también se estudian en la literatura, véase por ejemplo el artículo Estimaciones de dispersión para las ecuaciones discretas de Schrödinger y de onda unidimensionales por Egorova, Kopylova y Teschl. Demuestran estimaciones dispersivas (y deducen estimaciones de Strichartz) en el entorno discreto.
