Observe en primer lugar que $f(\operatorname{ker}f) = 0$ y $(\operatorname{coker}f)f = 0$ . Utilice esto para argumentar que $f = (\operatorname{im}f)f''(\operatorname{coim} f)$ .
Una vez hecho esto, queremos argumentar que $f''$ es un isomorfismo. Por lo tanto, $f = (\operatorname{im}f)(\operatorname{coim} f)$ , justificando la factorización $f = me$ , donde $m$ es mónico y $e$ epi. En mi opinión, aquí es donde está la mayor parte del trabajo.
Después, la unicidad (es decir, la propiedad universal) se desprende más o menos de la correspondiente declaración de unicidad y propiedad universal para los núcleos, así que lo dejaré para ti.
Demostrando que $f''$ es un isomorfismo requiere cierta maquinaria, al menos de la forma que yo conozco (que es una amalgama de los tratamientos de Mac Lane y Borceux): Me siento un poco extraño haciendo una captura de pantalla de mis propias notas, pero no sé cómo usar los diagramas conmutativos de AMS, así que
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La parte de la página siguiente sólo señala que $mx = 0$ Así que, como $m$ es mónico, $x = 0$ . Comprar que esto demuestra que $f''$ es un isomorfismo, hay que saber que en abeliano categorías,
- las flechas que son a la vez mónicas y epi son isomorfismos (no es cierto en, por ejemplo, Anillo )
- que una flecha $g$ es mónico (resp. epi) si y sólo si $gx = 0$ (resp. $xg = 0$ ) implica $x = 0$
- que existen pullbacks y pushouts y
- el pullback de un epi es un epi, y el pushout de un mónico es un mónico.
