¿Cuándo son reales los vectores propios de una matriz hermitiana?

Question

Consideremos una matriz hermitiana $M=M^\dagger$ . Está claro que sus valores propios son reales, pero ¿cuál es la condición para que los vectores propios sean también reales?

Edición 1: Considero que las entradas de $M$ para ser números complejos. Además, llamo real a un vector si todas sus componentes son números reales.

Edición 2: Como se ha señalado en los comentarios, si $v$ es un vector propio real de $M$ entonces también es $i v$ . Por esta razón, es necesario subrayar que no me importan los coeficientes complejos "globales".

Answer 1

Esta es una condición necesaria para que un vector propio sea real.

Dejemos que $v\in \mathbb R^n$ sea un vector propio real del valor propio real $\lambda$ . Dividir $M$ en parte real y parte imaginaria: $M=A+iB$ , $A,B\in\mathbb R^{n,n}$ . Entonces $$ Mx = (A+iB)x = Ax +iBx= \lambda x. $$ Dividiendo de nuevo en partes reales e imaginarias, resulta $Ax=\lambda x$ y $Bx=0$ . Es decir, $v$ está en el espacio nulo de $B$ que es la parte imaginaria de $M$ .

Por supuesto, esto no es suficiente para forzar que un vector propio sea real: la matriz real $\pmatrix{1 & 0\\0&1}$ tiene tiene una base ortonormal de vectores propios que no son reales $\pmatrix{1\\i}$ , $\pmatrix{1\\-i}$ . La multiplicación por escalares no ayuda.

Answer 2

Dejemos que $A= \begin{bmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \\ \end{bmatrix}$ . Entonces $1$ es un valor propio de $A$ pero $ker(I-A)=span\{(i,1)^T\}$