Freeman Dyson ' ejemplo s de una verdad indemostrable

Question

Freeman Dyson ha afirmado que

$$\nexists m,n \operatorname{Reversed}(2^n) = m ^ 5 $$

(donde $\operatorname{Reversed}(l)$ sólo es el reverso de los dígitos de $l$ en base 10), es probablemente un ejemplo de un improbable verdad (de origen), y que incluso si no lo es, hay muchas declaraciones similares, algunos de los cuales serán improbable. Como una heurística argumento, dice que es una prueba de que tendría que depender de algún patrón en los dígitos de las potencias de dos, pero esos parecen ser al azar.

Es esta heurística argumento razonable? Me sorprendió porque yo había pensado que una búsqueda para indecidible aritmética de las declaraciones en la Aritmética de Peano (por no hablar de ZFC o algo más fuerte) fue bastante difícil. Pero tal vez eso es sólo para (a) seguramente no demostrable declaraciones o (b) declaraciones interesantes. Me gustaría tienden a asumir Dyson sabe de qué está hablando aquí, pero todavía estoy curioso.

Answer 1

Hay muchas citas de Dyson de papel/libro en esta nota de Calude: Dyson Declaraciones que Son Propensos a Ser Cierto, pero no demostrable

En el final (el que se ve en las citas en que se nota), Dyson, el argumento parece ser: porque la identidad en cuestión parece ser muy "probable" para ser verdadero, debe ser cierto. Por supuesto que no es un argumento muy fuerte, incluso para un heurístico. Hay muchas verdades en las matemáticas que, sin embargo, sería muy "raro". En otras palabras, mirando a la negación de estos "raro" pero la verdadera declaraciones, hay muchas declaraciones falsas en las matemáticas que, sin embargo, ser muy "probable" en un sentido ingenuo. (Por el momento vamos a suponer que las afirmaciones acerca de "probabilidad", y las probabilidades son correctos; que es un problema aparte voy a discutir más adelante).

Por ejemplo, la probabilidad de que $e^{\pi i} = -1$ es cero, debido a que el conjunto de todos los $x$ $x = -1$ tiene medida cero. Sin embargo, $e^{\pi i}$ igual $-1$.

El principal problema es que hay una diferencia entre "no entendemos el patrón" y "el patrón al azar". En ocasiones, hay heurística de los argumentos que utilizan métodos probabilísticos de una manera convincente, pero basado en las citas que he visto Dyson, el argumento no es muy convincente.

Hay otros dos problemas:

1. Dyson es el uso de la palabra "aleatorio" de una manera inusual. En el sentido normal de probabilidad, la probabilidad de que un $(n+1)$-dígitos de número natural termina con $n$ ceros va a cero muy rápidamente como $n$, pero aumenta $10^n$ no siempre terminan con $n$ ceros. Puede ser que Dyson aclara esto en su libro real, no sé. Pero la definición exacta de "azar" se debe aclarar que el argumento sensato.

2. Calude citas Dyson como diciendo: "Cualquier prueba de la declaración tiene que estar basada en algunos no aleatoria de la propiedad de los dígitos." De hecho, si tenemos una definición clara de la noción de "azar" en cuestión (véase más arriba), entonces podríamos ser capaces de utilizar el hecho de que la secuencia es al azar para probar cosas acerca de ella. En otras palabras, podríamos ser capaces de utilizar el supuesto de que la identidad no pulsado para mostrar que la secuencia no poseen la forma apropiada de la aleatoriedad. Esto no es totalmente hipotético: en el estudio de Martin-Lof aleatoriedad, es común el uso de la suposición de que una secuencia es Martin-Lof azar como una hipótesis a probar los hechos acerca de la secuencia. En general, hipotética argumentos que dicen "cualquier prueba posible de que" tendría que tener una forma muy concreta, tienden a no ser convincente.