¿Cómo probar si las pendientes en el modelo lineal son iguales a un valor fijo?

Question

Supongamos que tenemos un modelo de regresión lineal simple $Z = aX + bY$ y nos gustaría probar la hipótesis nula $H_0: a=b=\frac{1}{2}$ frente a la alternativa general.

Creo que se puede usar la estimación de $\hat{a}$ y $SE(\hat{a})$ y luego aplicar una prueba $Z$ para obtener el intervalo de confianza alrededor de $\frac{1}{2}$. ¿Está bien?

La otra pregunta está fuertemente relacionada con esta. Supongamos que tenemos una muestra $\{(x_1,y_1,z_1),\ldots ,(x_n,y_n,z_n) \}$ y calculamos las estadísticas de $\chi^2$

\begin{equation} \sum_{i=1}^n \frac{(z_i-\frac{x_i+y_i}{2})^2}{\frac{x_i+y_i}{2}}. \end{equation} ¿Se pueden usar estas estadísticas para probar la misma hipótesis nula?

Answer 1

Puedes probar esta hipótesis con una prueba de modelo completo versus reducido. Aquí te explicamos cómo hacerlo. Primero, ajusta el modelo $Z = aX + bY$ y obtén los residuos de ese modelo. Eleva al cuadrado los residuos y sumalos. Esto es la suma de errores cuadrados para el modelo completo. Llamémosle $SSE_f$. A continuación, calcula $Z - \hat{Z}$ donde $\hat{Z} = 1/2*X + 1/2*Y$. Estos son tus residuos bajo la hipótesis nula. Eleva al cuadrado y sumalos. Esto es la suma de errores cuadrados para el modelo reducido. Llamémosle $SSE_r$.

Ahora calcula:

F = $((SSE_r - SSE_f)/2) / (SSE_f / (n-2))$,

donde $n$ es el tamaño de la muestra. Bajo $H_0$, esta estadística F sigue una distribución F con $2$ y $n-2$ grados de libertad.

Aquí tienes un ejemplo usando R:

x <- rnorm(n)
y <- rnorm(n)
z <- 1/2*x + 1/2*y + rnorm(n) ### nota que estoy simulando bajo H0 aquí

res <- lm(z ~ x + y - 1)
summary(res)
SSE.f <- sum(resid(res)^2)

zhat  <- 1/2*x + 1/2*y
SSE.r <- sum((z-zhat)^2)

F <- ((SSE.r - SSE.f) / 2) / (SSE.f / (n-2))
pf(F, 2, n-2, lower.tail=FALSE) ### este es el valor p

Rechaza la hipótesis nula si el valor p es inferior a .05 (si tu $\alpha$ es de hecho .05).

Supongo que realmente querías que tu modelo no contenga una constante. En otras palabras, supongo que realmente estás trabajando con el modelo $Z = aX + bY$ y no $Z = c + aX + bY$.

Answer 2

En la regresión lineal, la suposición es que $X$ e $Y$ no son variables aleatorias. Por lo tanto, el modelo

$$Z = a X + b Y + \epsilon$$

es algebraicamente lo mismo que

$$Z - \frac{1}{2} X - \frac{1}{2} Y = (a - \frac{1}{2})X + (b - \frac{1}{2})Y + \epsilon = \alpha X + \beta Y + \epsilon.$$

Aquí, $\alpha = a - \frac{1}{2}$ y $\beta = b - \frac{1}{2}$. El término de error $\epsilon$ no se ve afectado. Ajusta este modelo, estimando los coeficientes como $\hat{\alpha}$ y $\hat{\beta}$ respectivamente, y prueba la hipótesis $\alpha = \beta = 0$ de la manera habitual.

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La estadística escrita al final de la pregunta no es una estadística chi-cuadrada, a pesar de su similitud formal con una. Una estadística chi-cuadrada involucra conteos, no valores de datos, y debe tener valores esperados en su denominador, no covariables. Es posible que uno o más de los denominadores $\frac{x_i+y_i}{2}$ sean cero (o cercanos a cero), lo cual muestra que algo está seriamente mal con esta formulación. Si eso no es convincente, considera que las unidades de medida de $Z$, $X$ e $Y$ podrían ser cualesquiera (como dracmas, parsecs y pecks), por lo que una combinación lineal como $z_i - (x_i+y_i)/2$ es (en general) sin sentido. No prueba nada.