Si $f(x)=1+x+\int_1^x(\ln^2t+2\ln t)dt$ entonces $f(x)$ aumenta en

Question

Si $f(x)=1+x+\int_1^x(\ln^2t+2\ln t)dt$ entonces $f(x)$ aumenta en
$(A)(0,\infty)$
$(B)(0,e^{-2})\cup(1,\infty)$
$(C)$ ningún valor
$(D)(1,\infty)$

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$f'(x)=1+\ln^2x+2\ln x=(\ln x+1)^2>0$ .

Así que $f(x)$ es creciente en todo su dominio de definición, necesitamos encontrar el dominio de $f(x).$

$f(x)=1+x+\int_1^x(\ln^2t+2\ln t)dt$

Como el límite inferior es $1$ por lo que el límite superior es mayor que el inferior.

Así que doamin de $f(x)$ es $x>1$ Elegí $(D)$ como respuesta, pero en mi libro $(A)$ se da como respuesta correcta. No sé en qué me he equivocado.

Answer 1

No es necesario que el límite superior de integración sea mayor que el límite inferior de integración.

Recordemos que $$\int_a^b g(x) \, dx = -\int_b^a g(x) \, dx.$$

Su análisis de $f'(x)$ es correcta y es válida para todos los $x>0$ . El dominio de $f(x)$ es el conjunto de números reales positivos.