Cierre integral en una extensión algebraica infinita

Question

Si $A$ es un dominio ideal principal y $L/Q(A)$ una extensión de campo finito, entonces se deduce del teorema de Krull-Akizuki que el cierre integral de $A$ en $L$ es un dominio Dedekind. Ahora bien, si $L/Q(A)$ es una extensión algebraica infinita, ¿podemos decir que el cierre integral de $A$ en $L$ no es noetheriano?

Answer 1

El cierre integral de $\Bbb{Z}_p$ ( $p$ -enteros radicales) en $\bigcup_{n\ge 1}\Bbb{Q}_p(\zeta_{p^n-1})$ es el DVR $\bigcup_{n\ge 1}\Bbb{Z}_p[\zeta_{p^n-1}]$ (en particular la noetheriana).

Así que no hay una regla fácil.