Encontrar el argumento principal de un número complejo

Question

Tengo una pregunta de libro de texto para encontrar el argumento principal de

$$ z = {i \over -2-2i}. $$

Conozco fórmulas en las que encontramos utilizando $$ \tan^{-1} {y \over x}$$

pero estoy un poco atascado aquí puede alguien ayudar por favor.

Answer 1

Reescribir como

$$z = -\frac{1+i}{4}$$

Tenga en cuenta que $\Re{z} = \Im{z} = -1/4$ para que el argumento de $z$ se encuentra en el tercer cuadrante (mismo signo, ambos negativos). Porque las partes real e imaginaria son iguales,

$$\text{Arg}\,{z} = \frac{-3 \pi}{4}$$

Answer 2

$$z=\frac i{-2-2i}=\frac12\frac {-i}{1+i}=\frac12\frac {-i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\left(-\frac14\right)+i\left(-\frac14\right)$$

Utilizando el definición de $\arctan2,$

el valor principal del Argumento de $z$ (que mentiras en $(-\pi,\pi]$ ) será $\arctan 1 -\pi=\frac\pi4-\pi=-\frac{3\pi}4$ (como $\frac{\left(-\frac14\right)}{\left(-\frac14\right)}=1$ )

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Alternativamente, utilizando este , $$Arg \left(\frac {z_1z_2\cdots}{w_1w_2\cdots}\right)=\sum Arg(z_i)-\sum Arg(w_i)\pmod {(-\pi,\pi]}$$

$$\text{So, }Arg \left(\frac i{-2-2i}\right)= Arg(i)-Arg(-1)-Arg(1+i)$$ $$=\frac\pi2-\pi-\frac\pi4\pmod {(-\pi,\pi]}=-\frac{3\pi}4$$

Answer 3

$z = \cfrac{i}{ -2-2i}=\cfrac{i(-2+2i)}{ (-2-2i)(-2+2i)}=\cfrac{i(-2+2i)}{ (-2-2i)\overline{(-2-2i)}}=\cfrac{i(-2+2i)}{ \left|-2-2i\right|^2}=\cfrac{-2i-2}{ \left|-2-2i\right|^2}=\cfrac{1}{ \left|-2-2i\right|^2}(-2-2i)$

Desde $\cfrac{1}{ \left|-2-2i\right|^2}\in \Bbb R_+^*$ el argumento principal de $z$ es también el principal argumento de $-2-2i$ que deberías poder encontrar.

Answer 4

Después de llegar al punto de escribir $z = -\cfrac{1}{2}-\cfrac{\mathrm{i}}{2}$ se puede reescribir como $z = (\cfrac{1}{2\sqrt 2})(-\cfrac{\sqrt 2}{2}-\cfrac{\mathrm{i}\sqrt 2}{2})$ . A continuación, puede utilizar la fórmula $z = r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ , donde $r = \lvert z \rvert$ y $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} = \cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta$ , donde $\theta = arg(z)$ . Aquí $\theta = \cfrac{5\pi}{4}+2k\pi, k \in \Bbb Z$ . Si $Arg(z) \in [0, 2\pi)$ , $Arg(z) = \cfrac{5\pi}{4}$ . Si $Arg(z) \in (-\pi, \pi]$ , $Arg(z) = -\cfrac{3\pi}{4}$ .