No hay tal experimento, a pesar de que hay un montón de experimentos en los que el número de electrones en un átomo se miden como un efecto secundario.
Sabemos que los átomos son eléctricamente neutros por lo que debe haber el mismo número de electrones y protones. Sabemos que los sucesivos elementos de la tabla periódica son construidos por incrementar el número de protones, por lo que sabemos cuántos electrones de los átomos deben tener. Así, por ejemplo, sabemos que el átomo de carbono tiene seis protones, por lo tanto debe haber seis electrones.
Podría decirse que este sólo traslada el problema un paso atrás. La pregunta sería entonces ¿cómo sabemos que el átomo de carbono tiene seis protones. En estos días de muertos fácil como acabamos de medir la masa del núcleo de carbono de forma muy precisa y porque sabemos que el protón y el neutrón masas podemos decir cuántos protones y neutrones que contiene. Históricamente, el número atómico se obtuvo en gran parte por deducción en lugar de la medición directa.
Me dijo que había experimentos que miden el número de electrones como un efecto secundario. Para un montón de años de hadrones experimentos se han realizado con los núcleos atómicos. Esto se hace actualmente en el RHIC y el experimento ALICE del LHC, pero que se estaba hecho mucho antes. Los átomos tienen sus electrones despojados por ser despedido, a través de una película de carbono, y su carga nuclear se mide como un efecto secundario de la aceleración de ellos. Para un núcleo de carbono medimos un cargo de $+6$, por lo tanto, un átomo de carbono neutral debe tener seis electrones.